2 задачи - с граница и производна

[geriniki]

моля ви, някой да помогне

да се намери производната на
y= [tex] \frac{arccos x}{1-x^{2} } [/tex]

границата на ?

1. lim x.ln(1-x) (x клони към +0)

2. [tex] \lim ((\sqrt{x} - lnx) [/tex](x клони към +\infty )

3. [tex]\lim (ln 2x)^{\frac{1}{ lnx} } [/tex] (x клони към \infty )

4. [tex]\lim x (\sqrt{x^{2} - x} ) [/tex] (x клони към \infty )

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]f(x)=\frac{\arccos x}{1-x^2}[/tex]

Производната се намира по правилото за диференциране на частно:

[tex]f'(x) = \frac{(\arccos x)' (1-x^2) - \arccos x (1-x^2)'}{(1-x^2)^2}[/tex].

Оттук [tex]f'(x) = \frac{-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (1-x^2) + 2x \arccos x}{(1-x^2)^2} = \frac{-\frac{\cancel {(1-x^2)} \sqrt{1-x^2}}{\cancel {1-x^2}} + 2x \arccos x}{(1-x^2)^2} = \frac{2x \arccos x - \sqrt{1-x^2}}{(1-x^2)^2}[/tex].

[martosss]

[geriniki]

[martosss]

(x-5)² при x=5 е равно на (5-5)(5-5)=0*0 Сега, дали (x-5)² при x=5 е неопределеност?
Казано с други думи... ако едно нещо се приближава към 0, друго нещо също много се приближава към 0, то двете неща като ги умножим логично се приближават към 0. Вече ако получиш 0*oo или пък -oo*oo нещата са различни, но 0*0 си е точно 0

[geriniki]

а тази така ли е

lim [tex] \frac{2x^{4} - 5x^{3} + 7x^{2} - 9}{3x^{5} - 6x^{3} + 4x^{2}-2x+11 }[/tex] = [tex]lim \frac{x^{4}.(2-\frac{5}{x } + \frac{7}{ x^{2}} -\frac{9}{x^{4}}) }{x^{5}.(3- \frac{6}{x^{2} } + \frac{4}{x^{3} } -\frac{2}{x^{4} } + \frac{11}{x^{5} } )} [/tex] = 0

x клони към [tex]-\infty [/tex]

?

[geriniki]

аа и сега гледам че съм объркала в началото условието на тази дето съм я написала под номер 4-

как ще стане ако е така - няма да е с изнасяне на х а?
lim x (\sqrt{x^{2} + 1} -х ) (x клони към \infty )

[stflyfisher]

Искам само да вметна, че:

[tex] \lim_{x \to +\infty } x\sqrt{x^2-x}= \lim_{x \to +\infty } x\sqrt{x^2(1-\frac{1}{x})}= \lim_{x \to +\infty }x\sqrt{x^2}\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\lim_{x \to +\infty }x|x|\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\lim_{x \to +\infty }x.x.\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\lim_{x \to +\infty }x^2\sqrt{1-\frac{1}{x}}= + \infty [/tex],

но

[tex] \lim_{x \to -\infty } x\sqrt{x^2-x}= \lim_{x \to -\infty } x\sqrt{x^2(1-\frac{1}{x})}= \lim_{x \to -\infty }x\sqrt{x^2}\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\lim_{x \to -\infty }x|x|\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\lim_{x \to -\infty }x.(-x).\sqrt{1-\frac{1}{x}}=-\lim_{x \to -\infty }x^2\sqrt{1-\frac{1}{x}}= - \infty [/tex]

Така, че когато се използа само символа [tex]\infty [/tex] при граници на функции не е много ясно, дали става дума [tex]+\infty [/tex] или [tex]-\infty [/tex], освен ако изрично не е упоменато. Ясно е, че на базата на математическата символика на граница на редица, където се използва само [tex]\infty [/tex], да се подразбира, че [tex]\infty \equiv +\infty [/tex]

[martosss]

и така по задачата
[tex]\lim_{x\to \infty}x(\sqrt{x^2+1}-x)[/tex] рационализираме числителя(умножаваме по сбора на това в скобите, така че да изчезне коренът)

[tex]\lim_{x\to \infty} \frac{x(x^2+1-x^2)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\lim_{x\to \infty}\frac{x}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}[/tex]

[geriniki]

някой може ли да ми напише решението на тази - да се намери границата на

х.е^-х? като х клони към -∞ ?
стигам до неопределеност 0. -∞ после по лопитал и търся производната и ми излиза -

е^-х - е^-х.х = е^-х(1-x) но и това е неопределеност от вида 0. -∞? така ли е? ако да коя е производната на това и как се решава нататък

[gdimkov]

[tex]\lim_{x\to\infty }x.e^{-x}=\lim_{x\to\infty }\frac {x}{e^x}=\lim_{x\to\infty }\frac {(x)'}{(e^x)'}=\lim_{x\to\infty }\frac {1}{e^x}=0[/tex]

[geriniki]

ами тази граница 1 ли е

[tex] lim \frac{x}{ln x }[/tex] x клони към 0?

[garion]