Ирационално параметрично неравенство

[estoyanovvd]

Намерете всички стойности на реалния параметър а, за всяка от които неравенството

[tex]\sqrt{(a-x^{2}).(x^{2}+a)}+a>x [/tex]

съдържа в решенията си точно две цели числа.

[Реклама]

[martosss]

a=1 не е ли единственото решение?

[Edward]

ами а=-1 не е ли решение ?

[martosss]

Опа, наистина, коренът може да е положителен лоша работа, значи може и други решения да има

При [tex]x=-1[/tex] получаваме [tex]sqrt{1-x^4}-1>x[/tex] и за х имаме възможност само -1, 0 и 1, обаче се получават две равенства и едно невярно неравенство, които не ни вършат работа.

[baroveca]

martoss имаш грешка.Трябва да пишеш,че при [tex]a=-1[/tex] получаваме [tex]sqrt{1-x^4}-1>x[/tex]

[martosss]

да де, при a=-1

[baroveca]

Някой би ли обяснил как се решават такъв вид задачи?

[Пафнутий]

С универсалния метод - мислене!

[estoyanovvd]

[baroveca]

Е това го знам,но има ли някакви условия или нещо подобно,някакви тънкости?Ако може нека някой да обясни,защото майче тия задачи в ЗП не се учат.

[martosss]

Ми има няколко варианта:
1. решаваш както си знаеш - повдигаш на квадрат и изследваш - в случая получаваш сумати ограничения, след което много проверки - лоша работа

2. Определяш някакви граници и започваш да налучкваш Примерно при a>2, при a>3... при a<0, при a<-2 и така нататък. Също така може да пробваш с проби - при a=0, pri a=1 2 3 .. тоест като нараства а какво става, като намалява какво става и така си правиш някаква представа къде горе долу са ти решенията.

И все пак май а=1 е единственото решение, явно съм го познал донякъде.

[estoyanovvd]

Нееееее!!! Има още мноооого решения!!!

[_sssss]

[tex]a\in[-15; -5)\cup \{1\}[/tex]
?

[estoyanovvd]

Абсолютно вярно!!!

[_sssss]

[tex]I. \; \normal a<0, \; c=-a;[/tex] [tex]x\in[-\sqrt{c}; \sqrt{c}][/tex]

[tex]\normal \sqrt{c^2 - x^4}-x-c>0[/tex]

Имаме единствен екстремум(max) с абсциса по-малка от 0.(това няма да го пиша)
[tex]\normal f(0)=0 \Rightarrow[/tex] интервалът на решението е от 0 наляво.

Искаме:

[tex]\normal \begin{tabular} f(-1)>0 & f(-2)>0 & f(-3) \le 0 \\ \Updownarrow & \Updownarrow & \Updownarrow \\ c>1 & c>5 & c \le 15 \end{tabular}[/tex]

[tex]\normal c\in (5; 15] \Leftrightarrow a \in [-15; -5)[/tex]

[tex]II. \; \normal a>0[/tex]
[tex]\normal x \in [-\sqrt{a} ; \sqrt{a}][/tex]
За да имаме поне 2 цели числа в ДС, [tex]\normal 1 \le \sqrt{a} \Leftrightarrow a \ge 1[/tex]

[tex]\normal 1. \; x(x^3 + x - 2a)<0 \leftrightarrow x\in(0; \varphi) \cap x>a \; \; (1<\varphi<\sqrt{a})\Rightarrow x \in \emptyset[/tex]
[tex]\normal 2. \; x\in [-\sqrt{a}; \sqrt{a}]\cap x
[tex]\normal f(\sqrt{a}) \; : \; 0>\sqrt{a}-a[/tex]
[tex]\normal f(0) \; : \; |a|>-a[/tex]
[tex]\normal f(-\sqrt{a}) \; : \; 0>-\sqrt{a}-a[/tex]

Оттук [tex]\normal \sqrt{a}=1[/tex].