Регистрирайте сеРегистрирайте се

Трудни граници


 
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Fri Nov 13, 2009 3:18 pm    Заглавие: Трудни граници

Намерете границите [tex]\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x}[/tex] и [tex]\lim_{x \to 0} \frac{1}{sin 2x} [\sqrt[6]{1+ \ln (1+x)}-1][/tex].

Ако на някого му се намират още подобни примери с трудни граници, моля да пише в темата или на ЛС, защото са ми нужни такива задачи за решаване, а проблемът е, че няма откъде да намеря. Ще съм страшно благодарен, Very Happy .
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ferry2
Напреднал


Регистриран на: 10 Dec 2007
Мнения: 442
Местожителство: гр.Пловдив
Репутация: 55.9
гласове: 24

МнениеПуснато на: Fri Nov 13, 2009 3:33 pm    Заглавие: Re: Трудни граници

Имаш неопределеност [tex]\frac{0}{ 0} [/tex]. Просто приложи правилото на Лопитал - диференцираш поотделно числителя и знаменателя.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Fri Nov 13, 2009 3:59 pm    Заглавие:

Аз го направих другояче. Ще докажем една основна граница: [tex]\fbox{\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)}{x} = 1}[/tex].

Имаме [tex]\lim_{x\to 0} \frac{\ln (1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} . \ln (1+x) = \lim_{x \to 0} \ln (1+x)^{\frac{1}{x}}[/tex].

Сега вкарваме лимеса в логаритъма, получаваме [tex] \ln \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \ln e = 1[/tex].

За първата граница имаме [tex]\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x} = - \lim_{x \to 1} \frac{\ln [1+(x-1)]}{x-1}[/tex], откъдето според горното получаваме, че [tex]\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x}=-1[/tex].

А с правилото на Лопитал се получава следното:

[tex]\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f'(x)}{g'(x)} \Rightarrow \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x} = \lim_{x \to 1} -\frac{1}{x} = -1[/tex].

Така ли? Още не съм учил правило на Лопитал. За другата граница пак ли по същото правило ще стане (защото и там не съм го ползвал)?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Fri Nov 13, 2009 5:12 pm    Заглавие:

Пускаш задачи, които после сам решаваш - евала!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
pipi langstrump
Начинаещ


Регистриран на: 15 Feb 2009
Мнения: 24

Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8
гласове: 1

МнениеПуснато на: Fri Nov 13, 2009 5:25 pm    Заглавие:

За втората граница просто използваш формулата [tex]a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b +...+b^{n-1}) -[/tex]

[tex]\lim_{x \to 0}\,\frac{1}{sin 2x}\left(\sqrt[6]{1 + \ln (1+x) - 1\right) = \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\,\frac{1}{sin x} \frac{\ln (1+x)}{\sum_{k = 1}^{6} (1 + \ln (1+x))^{6-k}} =\frac{1}{2}\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\ln (1+x)}{x}}{\frac{sin x}{x}} \lim_{x \to 0}\frac{1}{ \sum_{k = 1}^{6} (1 + \ln (1+x))^{6-k}} = \frac{1}{12} [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Flame
Редовен


Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
Репутация: 29.6Репутация: 29.6Репутация: 29.6
гласове: 16

МнениеПуснато на: Fri Nov 13, 2009 5:44 pm    Заглавие:

А това вече е и възможно най - краткото:
[tex]\sin(2x)\approx 2.x[/tex]
[tex]\sqrt[6]{1+ln(1+x)}-1\approx \frac{1}{6} ln{(1+x)} [/tex]
[tex]\frac{1}{6} ln{(1+x)} \approx \frac{1}{6}.x[/tex]
[tex]\lim_{x->0}\frac{1}{\sin{2.x}}.\sqrt[6]{1+ln{(1+x)}}-1 =\frac{1}{ 6} x .\frac{1}{2.x }=\frac{1}{12} [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sat Nov 14, 2009 1:55 am    Заглавие:

krainik написа:
Пускаш задачи, които после сам решаваш - евала!

При някой хора това е доживотно заболяване!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
asdf
Начинаещ


Регистриран на: 06 Oct 2009
Мнения: 32

Репутация: 4.9Репутация: 4.9Репутация: 4.9Репутация: 4.9
гласове: 3

МнениеПуснато на: Sat Nov 14, 2009 9:00 pm    Заглавие:

Ето една и от мен - да се намери:
[tex]\lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n+1}+\frac{n}{n^2+2} + \frac{n}{n^3+3} + \dots + \frac{n}{n^n+n})[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Is it black or white?
Напреднал


Регистриран на: 03 Jan 2009
Мнения: 393
Местожителство: Силистра ПМГ
Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sun Nov 15, 2009 1:15 pm    Заглавие:

asdf написа:
Ето една и от мен - да се намери:
[tex]\lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n+1}+\frac{n}{n^2+2} + \frac{n}{n^3+3} + \dots + \frac{n}{n^n+n})[/tex]

[tex] \frac{n}{n+1} \ge \frac{n}{n^{2}+2} \ge \frac{n}{n^{3}+3} \ge .... \ge \frac{n}{n^{n}+n} [/tex]
Нека [tex] A=(\frac{n}{n+1}+\frac{n}{n^2+2} + \frac{n}{n^3+3} + \dots + \frac{n}{n^n+n})[/tex]
[tex] B=n\frac{n}{n^{n}+n}\le A \le n\frac{n}{n+1}=C [/tex]
От теоремата за двамата полицаи следва, че границата на B и C е граница и на А
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
addeqna
Начинаещ


Регистриран на: 06 Jun 2008
Мнения: 18
Местожителство: Бургас
Репутация: 3.8Репутация: 3.8Репутация: 3.8

МнениеПуснато на: Sun Dec 06, 2009 2:15 am    Заглавие: Re: Трудни граници

Spider Iovkov написа:
Намерете границите [tex]\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x}[/tex] и [tex]\lim_{x \to 0} \frac{1}{sin 2x} [\sqrt[6]{1+ \ln (1+x)}-1][/tex].

Ако на някого му се намират още подобни примери с трудни граници, моля да пише в темата или на ЛС, защото са ми нужни такива задачи за решаване, а проблемът е, че няма откъде да намеря. Ще съм страшно благодарен, Very Happy .

На мен пьк ми е трудно да реша тази и ще сьм благодарна ,ако ми помогнете
[tex]\fbox{\lim_{x \to 0} \frac{\ (e^x+e^{-x}-2)}{xtg x} = ?}[/tex]


Последната промяна е направена от addeqna на Tue Dec 08, 2009 2:50 am; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sun Dec 06, 2009 12:54 pm    Заглавие:

С Лопитал:
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{\frac{1}{cos^2x}}=0[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.