Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Spider Iovkov VIP
Регистриран на: 12 Jan 2007 Мнения: 1273
гласове: 129
|
Пуснато на: Fri Nov 13, 2009 3:18 pm Заглавие: Трудни граници |
|
|
Намерете границите [tex]\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x}[/tex] и [tex]\lim_{x \to 0} \frac{1}{sin 2x} [\sqrt[6]{1+ \ln (1+x)}-1][/tex].
Ако на някого му се намират още подобни примери с трудни граници, моля да пише в темата или на ЛС, защото са ми нужни такива задачи за решаване, а проблемът е, че няма откъде да намеря. Ще съм страшно благодарен, . |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
ferry2 Напреднал
Регистриран на: 10 Dec 2007 Мнения: 442 Местожителство: гр.Пловдив гласове: 24
|
Пуснато на: Fri Nov 13, 2009 3:33 pm Заглавие: Re: Трудни граници |
|
|
Имаш неопределеност [tex]\frac{0}{ 0} [/tex]. Просто приложи правилото на Лопитал - диференцираш поотделно числителя и знаменателя. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Spider Iovkov VIP
Регистриран на: 12 Jan 2007 Мнения: 1273
гласове: 129
|
Пуснато на: Fri Nov 13, 2009 3:59 pm Заглавие: |
|
|
Аз го направих другояче. Ще докажем една основна граница: [tex]\fbox{\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)}{x} = 1}[/tex].
Имаме [tex]\lim_{x\to 0} \frac{\ln (1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} . \ln (1+x) = \lim_{x \to 0} \ln (1+x)^{\frac{1}{x}}[/tex].
Сега вкарваме лимеса в логаритъма, получаваме [tex] \ln \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \ln e = 1[/tex].
За първата граница имаме [tex]\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x} = - \lim_{x \to 1} \frac{\ln [1+(x-1)]}{x-1}[/tex], откъдето според горното получаваме, че [tex]\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x}=-1[/tex].
А с правилото на Лопитал се получава следното:
[tex]\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f'(x)}{g'(x)} \Rightarrow \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x} = \lim_{x \to 1} -\frac{1}{x} = -1[/tex].
Така ли? Още не съм учил правило на Лопитал. За другата граница пак ли по същото правило ще стане (защото и там не съм го ползвал)? |
|
Върнете се в началото |
|
|
krainik Фен на форума
Регистриран на: 01 May 2009 Мнения: 697
гласове: 44
|
Пуснато на: Fri Nov 13, 2009 5:12 pm Заглавие: |
|
|
Пускаш задачи, които после сам решаваш - евала! |
|
Върнете се в началото |
|
|
pipi langstrump Начинаещ
Регистриран на: 15 Feb 2009 Мнения: 24
гласове: 1
|
Пуснато на: Fri Nov 13, 2009 5:25 pm Заглавие: |
|
|
За втората граница просто използваш формулата [tex]a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b +...+b^{n-1}) -[/tex]
[tex]\lim_{x \to 0}\,\frac{1}{sin 2x}\left(\sqrt[6]{1 + \ln (1+x) - 1\right) = \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\,\frac{1}{sin x} \frac{\ln (1+x)}{\sum_{k = 1}^{6} (1 + \ln (1+x))^{6-k}} =\frac{1}{2}\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\ln (1+x)}{x}}{\frac{sin x}{x}} \lim_{x \to 0}\frac{1}{ \sum_{k = 1}^{6} (1 + \ln (1+x))^{6-k}} = \frac{1}{12} [/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
Flame Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009 Мнения: 213 Местожителство: София гласове: 16
|
Пуснато на: Fri Nov 13, 2009 5:44 pm Заглавие: |
|
|
А това вече е и възможно най - краткото:
[tex]\sin(2x)\approx 2.x[/tex]
[tex]\sqrt[6]{1+ln(1+x)}-1\approx \frac{1}{6} ln{(1+x)} [/tex]
[tex]\frac{1}{6} ln{(1+x)} \approx \frac{1}{6}.x[/tex]
[tex]\lim_{x->0}\frac{1}{\sin{2.x}}.\sqrt[6]{1+ln{(1+x)}}-1 =\frac{1}{ 6} x .\frac{1}{2.x }=\frac{1}{12} [/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Sat Nov 14, 2009 1:55 am Заглавие: |
|
|
krainik написа: | Пускаш задачи, които после сам решаваш - евала! |
При някой хора това е доживотно заболяване! |
|
Върнете се в началото |
|
|
asdf Начинаещ
Регистриран на: 06 Oct 2009 Мнения: 32
гласове: 3
|
Пуснато на: Sat Nov 14, 2009 9:00 pm Заглавие: |
|
|
Ето една и от мен - да се намери:
[tex]\lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n+1}+\frac{n}{n^2+2} + \frac{n}{n^3+3} + \dots + \frac{n}{n^n+n})[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
Is it black or white? Напреднал
Регистриран на: 03 Jan 2009 Мнения: 393 Местожителство: Силистра ПМГ гласове: 32
|
Пуснато на: Sun Nov 15, 2009 1:15 pm Заглавие: |
|
|
asdf написа: | Ето една и от мен - да се намери:
[tex]\lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n+1}+\frac{n}{n^2+2} + \frac{n}{n^3+3} + \dots + \frac{n}{n^n+n})[/tex] |
[tex] \frac{n}{n+1} \ge \frac{n}{n^{2}+2} \ge \frac{n}{n^{3}+3} \ge .... \ge \frac{n}{n^{n}+n} [/tex]
Нека [tex] A=(\frac{n}{n+1}+\frac{n}{n^2+2} + \frac{n}{n^3+3} + \dots + \frac{n}{n^n+n})[/tex]
[tex] B=n\frac{n}{n^{n}+n}\le A \le n\frac{n}{n+1}=C [/tex]
От теоремата за двамата полицаи следва, че границата на B и C е граница и на А |
|
Върнете се в началото |
|
|
addeqna Начинаещ
Регистриран на: 06 Jun 2008 Мнения: 18 Местожителство: Бургас
|
Пуснато на: Sun Dec 06, 2009 2:15 am Заглавие: Re: Трудни граници |
|
|
Spider Iovkov написа: | Намерете границите [tex]\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x}[/tex] и [tex]\lim_{x \to 0} \frac{1}{sin 2x} [\sqrt[6]{1+ \ln (1+x)}-1][/tex].
Ако на някого му се намират още подобни примери с трудни граници, моля да пише в темата или на ЛС, защото са ми нужни такива задачи за решаване, а проблемът е, че няма откъде да намеря. Ще съм страшно благодарен, . |
На мен пьк ми е трудно да реша тази и ще сьм благодарна ,ако ми помогнете
[tex]\fbox{\lim_{x \to 0} \frac{\ (e^x+e^{-x}-2)}{xtg x} = ?}[/tex]
Последната промяна е направена от addeqna на Tue Dec 08, 2009 2:50 am; мнението е било променяно общо 1 път |
|
Върнете се в началото |
|
|
mkmarinov Напреднал
Регистриран на: 08 Nov 2008 Мнения: 358 Местожителство: Враца гласове: 32
|
Пуснато на: Sun Dec 06, 2009 12:54 pm Заглавие: |
|
|
С Лопитал:
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{\frac{1}{cos^2x}}=0[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
|