Регистрирайте сеРегистрирайте се

Неравенство


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Thu Nov 12, 2009 11:48 pm    Заглавие: Неравенство

Ако [tex]0<a\le x_i\le b[/tex], да се докаже:

[tex]\sum_{i=1}^{n } x_i.\sum_{i=1}^{n }\frac{1}{x_i }\le \frac{(a+b)^2}{ 4ab} n^2 [/tex]

ПП Задачата съм я пускал в раздел "Неравенства" преди повече от година, но нямаше никакви коментари и решения: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=6591

Сигурен съм, че във форума има много хора които биха могли да я решат, но по необясними за мен причини никой не представи решение и задачата беше забравена.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Nov 12, 2009 11:56 pm    Заглавие:

Ми това би трябвало да стане с неравенството на Чебишев Confused Става
[tex]\sum x_1 \sum \frac{1}{x_1}\le n(\underbrace{1+1+1+...+1)}_{n\cyr{ na bro\u}}=n^2\le^? \frac{(a+b)^2}{4ab}n^2[/tex].
Последното е еквивалентно на
[tex]\frac{(a-b)^2}{4ab}\ge 0[/tex], което е изпълнено за всички положителни а и б. Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Fri Nov 13, 2009 1:02 am    Заглавие:

martosss написа:
Ми това би трябвало да стане с неравенството на Чебишев Confused Става
[tex]\sum x_1 \sum \frac{1}{x_1}\le n(\underbrace{1+1+1+...+1)}_{n\cyr{ na bro\u}}=n^2\le^? \frac{(a+b)^2}{4ab}n^2[/tex].
Последното е еквивалентно на
[tex]\frac{(a-b)^2}{4ab}\ge 0[/tex], което е изпълнено за всички положителни а и б. Wink


А аз защо си мисля, че от неравенството СА≥СХ => [tex]\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}[/tex], за всякакви [tex]x_i\ge0 [/tex], [tex]1\le i\le n[/tex], което е точно обратното на това което ти доказваш?

ПП Неравенството на Чебишев не го прилагаш правилно. Обърни внимание на подредпата по [tex]n[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Fri Nov 13, 2009 1:37 am    Заглавие:

Оф, това е сбъркано, да, точно наобратно е знакът Embarassedхванал ме е свинският грип!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Wed Nov 18, 2009 3:26 pm    Заглавие:

Мисля, че съм я виждал тази задача. Идеята е да се види, че лявата страна е изпъкнала функция по отношение на всяка от променливите. Понеже изпъкналата функция приема максимална стойност в края на интервала, то всяка една от променливите е равна на а или b и сега вече трябва да е лесно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Wed Nov 18, 2009 4:30 pm    Заглавие:

Да. Точно такава е идеята която използвам и аз. Трябва обаче да се установи при колко [tex]a[/tex] и колко [tex]b[/tex] се достига максимум. Всъщност това се оказа частен случай на по-общо неравнство. Ако никой не напише пълно решение и проявявате интерес към задачата мога да пусна моето решение.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.