Регистрирайте сеРегистрирайте се

Да се приведе в тригонометричен вид


 
   Форум за математика Форуми -> Комплексен анализ
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Infernum
Фен на форума


Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740

Репутация: 86.6Репутация: 86.6
гласове: 20

МнениеПуснато на: Sat Mar 10, 2007 3:50 pm    Заглавие: Да се приведе в тригонометричен вид

Приведете в тригонометричен вид комплексното число

[tex]1+ sin x + i cos x[/tex]

ако

[tex]0\le x\le 2\pi [/tex]


Последната промяна е направена от Infernum на Tue Oct 09, 2007 5:59 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Kerry
Начинаещ


Регистриран на: 17 Oct 2006
Мнения: 80
Местожителство: Пловдив
Репутация: 23Репутация: 23
гласове: 4

МнениеПуснато на: Mon Oct 01, 2007 8:43 pm    Заглавие:

Предлагам да променим условието
[tex]-\pi /2\le x\le 3\pi /2[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Infernum
Фен на форума


Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740

Репутация: 86.6Репутация: 86.6
гласове: 20

МнениеПуснато на: Tue Oct 09, 2007 10:26 am    Заглавие:

Като е сменено условието е по-лесно и не е толкова интересно.
Смятат се модула и аргумента на комплексното число както следва

[tex]|1+sin x+i cos x|=\sqrt{(1+sin x)^2+ cos^2x}=\sqrt{2(1+sin x)}=\sqrt{2}|cos{\frac{x}{2}}+sin{\frac{x}{2}}|=2|cos(\frac{\pi}{4} -\frac{x}{2})|[/tex]

Нека

[tex]\varphi = \arg(1+sin x+i cos x)[/tex]

[tex]-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}.[/tex]

При [tex]x=-\frac{\pi}{2} ,\ x = \frac{3\pi}{2}[/tex]

[tex]|1+sin x+i cos x|=0[/tex],

следователно

[tex]1+sin x+i cos x=0.[/tex]

При [tex]-\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}[/tex]

[tex]cos \varphi = \frac{RE(1+sin x+i cos x)}{|1+sin x+i cos x|}=\frac{\sqrt{2}}{2}|cos{\frac{x}{2}}+sin{\frac{x}{2}}|[/tex]

[tex]sin \varphi = \frac{IM(1+sin x+i cos x)}{|1+sin x+i cos x|}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{cos x}{|cos{\frac{x}{2}}+sin{\frac{x}{2}}|}.[/tex]

За [tex]-\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}[/tex]

[tex]|cos(\frac{\pi}{4} -\frac{x}{2})|=cos(\frac{\pi}{4} -\frac{x}{2}).[/tex]

Тогава

[tex]cos \varphi = cos(\frac{\pi}{4} -\frac{x}{2})[/tex]

[tex]sin \varphi =\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{(cos{\frac{x}{2}}-sin{\frac{x}{2}})(cos{\frac{x}{2}}+sin{\frac{x}{2}})}{cos{\frac{x}{2}}+sin{\frac{x}{2}}}=sin(\frac{\pi}{4} -\frac{x}{2})[/tex]

Тогава

[tex]1+sin x+i cos x=2cos(\frac{\pi}{4} -\frac{x}{2}){[cos(\frac{\pi}{4} -\frac{x}{2}+2k\pi)+i sin(\frac{\pi}{4} -\frac{x}{2}+2k\pi )]}[/tex]

[tex]k\in Z[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Комплексен анализ Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.