Задача

[sisoko15]

Докажете, че:

[tex](1+\sqrt{5})^{n+2}-(1-\sqrt{5})^{n+2}=4[(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n]+2[(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}][/tex]

[Реклама]

[r2d2]

Я реши уравнението [tex] x^2-2x-4=0[/tex]

[sisoko15]

[tex]x^2-2x-4=0[/tex]
[tex]D=4+16=20[/tex]
[tex]x_{1/2}=\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]x_1=1+\sqrt{5}[/tex]
[tex]x_2=1-\sqrt{5}[/tex]

[martosss]

Би трябвало да ти стигне, че [tex]6+2\sqrt 5=(\sqrt 5+1)^2[/tex] и другото също се разлага до съответния квадрат.... хващаш дясната страна, разкриваш скоби, групираш туй на n-та степен и преобразуваш там докато се получи лявата страна

[r2d2]

Получихме, че числата [tex]x_1=1+\sqrt{5} [/tex]и[tex] x_2=1 - sqrt{5}[/tex] са корени на уравнението [tex]x^2-2x-4=0[/tex]. Toва значи, че:

[tex]x_1^{n+2}=2x_1^{n+1}+4x_1^{n}[/tex] и аналогично:

[tex]x_2^{n+2}=2x_2^{n+1}+4x_2^{n}[/tex] като извадим от първото второто, получаваме това което искаме да докажем.

[martosss]

И това откъде се получава?
Аз нещо с Виет си мислих, че имате предвид, ама....

[_sssss]

[tex]x_1 ^n (x_1 ^2 - 2x_1 - 4)=0 \; x_1 \ne 0 \Leftrightarrow x_1 ^{n+2}=2x_1 ^{n+1} + 4x_1 ^n[/tex]

[martosss]

Ох, да, вярно!