Да се докаже...

[Rubysoul]

n!>10^n-10 za n estestveno

[Реклама]

[rashi101]

За n от 1 до 10 включително е ясно.

Да вземем
[tex]n_1=11[/tex]
[tex]n_{k+1}=n_k+1[/tex]

Знаем, че
[tex]11!>10^{11-10}.[/tex]
Ще докажа, че ако
[tex]n_k!>10^{n_k-10}[/tex] ,
то и
[tex]n_{k+1}!>10^{n_{k+1}-10}[/tex]

[tex]n_{k+1}!=n_k!(n+1)[/tex]

[tex]10^{n_{k+1}-10}=10^{n_k+1-10}=10^{n_k-10}.10[/tex]

Тъй като лявата страна умножаваме по [tex]n+1[/tex], а дясната по [tex]10[/tex], и [tex]n+1>10[/tex], неравенството продължава да е в сила.

Имаме завършена индукция. Лесно

[M_Velinova]

Съвършено решение! Моите поздравления!

[rashi101]

Мерси