Матрици

[Zlatinster]

Намерете обратните матрици
а)
3 2 3
-4 -3 -5
5 1 1

б)
2 3 1
7 9 5
3 4 3

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Златинстър, би ли написал решението? Аз се ръководя от лекциите на проф. Чакърян, той ни показа как се намират обратни матрици и аз направих същото като него.

[Zlatinster]

Отговора на а) е 1/3.

-7 5 -6
6 -3 3
-1 -1 3

[Spider Iovkov]

Това не е отговорът на (а).

[Zlatinster]

Сори това е на b)

на a) отговорът е
-8 -5 1
29 18 -3
-11 -7 1

[Zlatinster]

ся се сетих ще видя дали ще го получа

[Zlatinster]

Отговора не ми се получава...не съм казал че грешно си я изчислил защо изтри решението си ?
A11=2
A21=1
A31=-1
A12=-21
A22=12
A32=3
A13=11
A23=7
A33=-1

A^*=
2 1 -1
-21 12 3
11 7 -1
detA=-3
A^-1=1/detA.A^*=
-1/3.A^*=

-2/3 -1/3 1/3
7 -4 -1
-11/3 -7/3 1/3

[Spider Iovkov]

а) [tex]A=\left(\begin{array}{rrrr} 3 & 2 & 3 \\ -4 & -3 & -5 \\ 5 & 1 & 1 \end{array}\right)[/tex]

За да има обратна матрица матрицата [tex]A[/tex], тя трябва да бъде неособена, т. е. [tex]\det A \neq 0[/tex]. По правилото на Сарус за определяне на детерминанти на матрици с три реда и три стълба имаме

[tex]\det A = 3(-3)1+1(-4)3+2(-5)5-3(-3)5-1(-5)3-2(-4)1 \Leftrightarrow \det A = -9-12-50+45+15+8 \Leftrightarrow \det A = -3[/tex].

Получихме, че [tex]\det A \neq 0[/tex], тогава матрицата [tex]A[/tex] има обратна матрица − [tex]A^{-1}[/tex]. Стойността на обратната матрица се дава аналитично с израза

[tex]A^{-1} = \frac{1}{\det A} \left(\begin{array}{rrr} C_{11} & C_{21} & ... & C_{j 1} \\ C_{12} & C_{22} & ... & C_{j 2} \\ C_{1 i} & C_{2 i} & ... & C_{j i} \end{array}\right )[/tex].

Тук [tex]C_{11}, \, C_{21}, \, C_{j 1}, \, C_{12}, \, C_{22}, \, C_{j 2}, \, C_{1 i}, \, C_{2 i}, \, C_{j i}[/tex] са адюнгираните количества на елементите [tex]a_{11}, \, a_{21}, \, a_{j 1}, \, a_{12}, \, a_{22}, \, a_{j 2}, \, a_{1 i}, \, a_{2 i}, \, a_{j i}[/tex]. За да намерим [tex]A^{-1}[/tex], трябва да пресметнем адюнгираните количества на

[tex]\left | \begin{array}{rr} 3 & 2 & 3 \\ -4 & -3 & -5 \\ 5 & 1 & 1 \end{array} \right|[/tex].

Задраскваме реда [tex]3 \, 2 \, 3[/tex] (първия ред) и стълба [tex]3 \, -4 \, 5[/tex] (първия стълб):

[tex]\left | \begin{array}{rr} \fbox{3} & \fbox{2} & \fbox{3} \\ \fbox{-4} & -3 & -5 \\ \fbox{5} & 1 & 1 \end{array} \right|[/tex].

Адюнгираното количество [tex]C_{11}[/tex] е числено равно на [tex](-1)^{1+1} [(-3)1-1(-5)][/tex]. Тук степента [tex]1+1[/tex] показва реда и стълба на числото, от което започва задраскването. [tex]3[/tex] е в първия ред и в първия стълб. Произведението след това е всъщност стойността на получената след задраскването детерминанта с два реда и два стълба. Такава детерминанта е равна на произведението на числата по главния диагонал, намалено с произведението на числата по втория диагонал. Сега [tex]C_{11}=-3+5 \Leftrightarrow \fbox{C_{11}=2}[/tex].
По-нататък:

[tex]\left | \begin{array}{rr} \fbox{3} & \fbox{2} & \fbox{3} \\ -4 & \fbox{-3} & -5 \\ 5 & \fbox{1} & 1 \end{array} \right|[/tex].

За да намерим [tex]C_{12}[/tex], постъпваме по същия начин. Задраскваме реда и стълба, съдържащи числото [tex]2[/tex]. Адюнгираното количество е [tex]C_{12}=(-1)^{1+2}[(-4)1-5(-5)][/tex]. Числото [tex]2[/tex] е в първия ред и във втория стълб, затова степента е [tex]1+2[/tex]. Намираме [tex]\fbox{C_{12}=-21}[/tex].
Сега пак задраскваме, този път реда и стълба, съдържащи числото [tex]3[/tex] −

[tex]\left | \begin{array}{rr} \fbox{3} & \fbox{2} & \fbox{3} \\ -4 & -3 & \fbox{-5} \\ 5 & 1 & \fbox{1} \end{array} \right|[/tex].

Адюнгираното количество [tex]C_{13}[/tex] е равно на [tex](-1)^{1+3}[(-4)1-5(-3)] \Leftrightarrow \fbox{C_{13}=11}[/tex].
Следващото адюнгирано количество:

[tex]\left | \begin{array}{rr} \fbox{3} & 2 & 3 \\ \fbox{-4} & \fbox{-3} & \fbox{-5} \\ \fbox{5} & 1 & 1 \end{array} \right|[/tex].

Оттук [tex]C_{21}=(-1)^{2+1} (2.1-3.1) \Leftrightarrow \fbox{C_{21}=1}[/tex].
Аналогично −

[tex]\left | \begin{array}{rr} 3 & \fbox{2} & 3 \\ \fbox{-4} & \fbox{-3} & \fbox{-5} \\ 5 & \fbox{1} & 1 \end{array} \right|[/tex].

Тогава [tex]C_{22}=(-1)^{2+2} (3.1-3.5) \Leftrightarrow \fbox{C_{22}=-12}[/tex].
Следващото адюнгирано количество:

[tex]\left | \begin{array}{rr} 3 & 2 & \fbox{3} \\ \fbox{-4} & \fbox{-3} & \fbox{-5} \\ 5 & 1 & \fbox{1} \end{array} \right|[/tex].

Изчисляваме [tex]C_{23}=(-1)^{2+3} (3.1-2.5) \Leftrightarrow \fbox{C_{23}=7}[/tex].
Стигаме до третия ред:

[tex]\left | \begin{array}{rr} \fbox{3} & 2 & 3 \\ \fbox{-4} & -3 & -5 \\ \fbox{5} & \fbox{1} & \fbox{1} \end{array} \right|[/tex].

Получаваме [tex]C_{31}=(-1)^{3+1} [2(-5)-3(-3)] \Leftrightarrow \fbox{C_{31}=-1}[/tex].

Предпоследното адюнгирано количество, пресметнато от

[tex]\left | \begin{array}{rr} 3 & \fbox{2} & 3 \\ -4 & \fbox{-3} & -5 \\ \fbox{5} & \fbox{1} & \fbox{1} \end{array} \right|[/tex],

е [tex]C_{32}=(-1)^{3+2} [3(-5)-3.(-4)] \Leftrightarrow \fbox{C_{32}=3}[/tex], а последното −

[tex]\left | \begin{array}{rr} 3 & 2 & \fbox{3} \\ -4 & -3 & \fbox{-5} \\ \fbox{5} & \fbox{1} & \fbox{1} \end{array} \right| \Rightarrow C_{33}=(-1)^{3+3} [3(-3)-2(-4)] \Leftrightarrow \fbox{C_{33}=-1}[/tex].
Вече имаме всички необходими адюнгирани количества, за да намерим матрицата [tex]A^{-1}[/tex]. Очевидно

[tex]A^{-1} = \frac{1}{\det A} \left ( \begin{array}{rrr} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{array} \right )[/tex].

Получаваме [tex]A^{-1} = -\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{rrr} 2 & 1 & -1 \\ -21 & -12 & 3 \\ 11 & 7 & -1 \end{array} \right )[/tex]. По правилото за умножение на матрица с число − всеки член на матрицата се умножава с числото − намираме, че

[tex]A^{-1} = \left ( \begin{array}{rrr} -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 7 & 4 & -1 \\ -\frac{11}{3} & -\frac{7}{3} & \frac{1}{3} \end{array} \right )[/tex].

[Spider Iovkov]

б) [tex]A = \left ( \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 1 \\ 7 & 9 & 5 \\ 3 & 4 & 3 \end{array} \right )[/tex]

И тук ще постъпим по същия начин като в предното подусловие − първо ще установим дали дадената матрица има обратна (т. е. дали е неособена) и после с помощта на адюнгирни количества ще намерим обратната (ако съществува). По правилото на Сарус детерминантата

[tex]\left | \begin{array}{rrr} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right |[/tex]

е числено равна на [tex]aei + cdh + bfj - ceg - afh - bdi[/tex]. Тогава намираме [tex]\det A = -3, \, \det A \neq 0[/tex], следователно съществува обратна матрица на матрицата [tex]A[/tex]. Пресмятаме съответните адюнгирани количества пак чрез задраскване на редове и стълбове:

[tex]\left | \begin{array}{rrr} \fbox{2} & \fbox{3} & \fbox{1} \\ \fbox{7} & 9 & 5 \\ \fbox{3} & 4 & 3 \end{array} \right | \Rightarrow C_{11}=(-1)^{1+1} (9.3-5.4) \Leftrightarrow \fbox{C_{11}=7}[/tex];

[tex]\left | \begin{array}{rrr} \fbox{2} & \fbox{3} & \fbox{1} \\ 7 & \fbox{9} & 5 \\ 3 & \fbox{4} & 3 \end{array} \right | \Rightarrow C_{12}=(-1)^{1+2} (7.3-5.3) \Leftrightarrow \fbox{C_{12}=-6}[/tex];

[tex]\left | \begin{array}{rrr} \fbox{2} & \fbox{3} & \fbox{1} \\ 7 & 9 & \fbox{5} \\ 3 & 4 & \fbox{3} \end{array} \right | \Rightarrow C_{13}=(-1)^{1+3} (7.4-9.3) \Leftrightarrow \fbox{C_{13}=1}[/tex];

[tex]\left | \begin{array}{rrr} \fbox{2} & 3 & 1 \\ \fbox{7} & \fbox{9} & \fbox{5} \\ \fbox{3} & 4 & 3 \end{array} \right | \Rightarrow C_{21}=(-1)^{2+1} (3.3-4.1) \Leftrightarrow \fbox{C_{21}=-5}[/tex];

[tex]\left | \begin{array}{rrr} 2 & \fbox{3} & 1 \\ \fbox{7} & \fbox{9} & \fbox{5} \\ 3 & \fbox{4} & 3 \end{array} \right | \Rightarrow C_{22}=(-1)^{2+2} (2.3-3.1) \Leftrightarrow \fbox{C_{22}=3}[/tex];

[tex]\left | \begin{array}{rrr} 2 & 3 & \fbox{1} \\ \fbox{7} & \fbox{9} & \fbox{5} \\ 3 & 4 & \fbox{3} \end{array} \right | \Rightarrow C_{23}=(-1)^{2+3} (2.4-3.3) \Leftrightarrow \fbox{C_{23}=1}[/tex];

[tex]\left | \begin{array}{rrr} \fbox{2} & 3 & 1 \\ \fbox{7} & 9 & 5 \\ \fbox{3} & \fbox{4} & \fbo{3} \end{array} \right | \Rightarrow C_{31}=(-1)^{1+3} (3.5-9.1) \Leftrightarrow \fbox{C_{31}=6}[/tex];

[tex]\left | \begin{array}{rrr} 2 & \fbox{3} & 1 \\ 7 & \fbox{9} & 5 \\ \fbox{3} & \fbox{4} & \fbox{3} \end{array} \right | \Rightarrow C_{32}=(-1)^{3+2} (2.5-7.1) \Leftrightarrow \fbox{C_{32}=-3}[/tex];

[tex]\left | \begin{array}{rrr} 2 & 3 & \fbox{1} \\ 7 & 9 & \fbox{5} \\ \fbox{3} & \fbox{4} & \fbox{3} \end{array} \right | \Rightarrow C_{33}=(-1)^{3+3} (2.9-7.3) \Leftrightarrow \fbox{C_{33}=-3}[/tex].

Търсената матрица [tex]A^{-1}[/tex] е равна на произведението [tex]\frac{1}{\det A} \left ( \begin{array}{rrr} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{array} \right )[/tex]. Оттук лесно определяме

[tex]A^{-1} = -\frac{1}{3} \left ( \begin{array}{rrr} 7 & -5 & 6 \\ -6 & 3 & -3 \\ 1 & 1 & -3 \end{array} \right ) \Leftrightarrow A^{-1} = \left ( \begin{array}{rrr} -\frac{7}{3} & \frac{5}{3} & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 1 \end{array} \right )[/tex].

[Zlatinster]

Някой ще може ли да ги реши с обикновенния метод на умножение на редове и прибавяне?

[nikko1]

а) Метод на Гаус-Жордан
[tex](A|E)=\left(\begin{array}{rrr|rrr}3&2&3&1&0&0\\-4&-3&-5&0&1&0\\5&1&1&0&0&1\end{array}\right)[/tex] [tex]R_1:=-R_1-R_2 ->[/tex]
[tex]\left(\begin{array}{rrr|rrr}1&1&2&-1&-1&0\\-4&-3&-5&0&1&0\\5&1&1&0&0&1\end{array}\right)[/tex][tex]R_2:=R_2+4*R_1;R_3:=R_3-5*R_1-->[/tex]
[tex]\left(\begin{array}{rrr|rrr}1&1&2&-1&-1&0\\0&1&3&-4&-3&0\\0&-4&-9&5&5&1\end{array}\right)[/tex][tex]R_1:=R_1-R_2;R_3:=R_3+4*R_2-->[/tex]
[tex]\left(\begin{array}{rrr|rrr}1&0&-1&3&2&0\\0&1&3&-4&-3&0\\0&0&3&-11&-7&1\end{array}\right)[/tex][tex]R_3:=\frac{1}{3}*R_3-->[/tex]
[tex]\left(\begin{array}{rrr|rrr}1&0&-1&3&2&0\\0&1&3&-4&-3&0\\0&0&1&-\frac{11}{3}&-\frac{7}{3}&\frac{1}{3}\end{array}\right)[/tex][tex]R_1:=R_1+R_3;R_2:=R_2-3*R_3 ->[/tex]
[tex]\left(\begin{array}{rrr|rrr}1&0&0&-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\0&1&0&7&4&-1\\0&0&1&-\frac{11}{3}&-\frac{7}{3}&\frac{1}{3}\end{array}\right)=(E|A^{-1})[/tex], [tex]A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}-\frac{2}{3}&\,-\frac{1}{3}&\,\frac{1}{3}\\7&4&-1\\-\frac{11}{3}&-\frac{7}{3}&\frac{1}{3}\end{array}\right).[/tex]