Единствено решение

[estoyanovvd]

Намерете стойностите на параметъра [tex]a[/tex], за които уравнението

[tex]2^{\frac{2x}{1+x^{2} }}+a.cos(\frac{x^{2}-1}{ x})+a^{2}-\frac{5}{4 } =0 [/tex]

има точно едно решение.

[Реклама]

[martosss]

Нека [tex]f(x)=2^{\frac{2x}{1+x^{2} }}+a.cos(\frac{x^{2}-1}{ x})+a^{2}-\frac{5}{4 } =0 [/tex], [tex]D.S:\;\; x\ne 0[/tex]
Имаме [tex]f\left(\frac{1}{x}\right)=2^{\frac{2\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}}+a\cos\left(\frac{\frac{1}{x^2}-1}{\frac{1}{x}}\right)+a^2-\frac{5}{4}=[/tex]
[tex]2^{\frac{2x\N{^2}}{\N{x}(x^2+1)}}+a\underbrace{\cos\left(\frac{\N {x}(1-x^2)}{x\N{^2}}\right)}_{\cos\left(\frac{x^2-1}{x}\right)\\\cyr{ot chetnostta}}+a^2-\frac{5}{4}=f(x)[/tex]
Тоест за дадено а ако [tex]x[/tex] е решение, то и [tex]\frac{1}{x}[/tex] ще е решение.
Сега понеже единствените стойности, за които [tex]x=\frac{1}{x}[/tex] са [tex]x=\pm 1[/tex], то само те може да са решения. Проверяваме:
1) [tex]f(1)=2^{\frac{2}{1+1}}+a\cos(0)+a^2-\frac{5}{4}=a^2+a+\frac{3}{4}=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}>0[/tex] за всяко [tex]a\in \Re\Right f(1)\ne 0[/tex]

[tex]2)\; f(-1)=2^{\frac{-2}{2}}+a\cos(0)+a^2-\frac{5}{4}=a^2+a-\frac{3}{4}=\left(a+\frac{1}{2}\right)-1=\left(a-\frac{1}{2}\right)\left(a+\frac{3}{2}\right)=0\Right \fbox{a=\frac{1}{2}\cup\; a=-\frac{3}{2}}[/tex]

[ганка симеонова]

Страхотно решение Браво, Март.

[estoyanovvd]

Бравос, Мартос, и от мен!!!

[martosss]

А вие някакво друго решение имате ли?(даже и да е по-грозно)

[estoyanovvd]

Аз, лично, не!!! Само, че не ми се пишеше: Спешно, помогнете!!!

[martosss]

хаха ужас Значи вие не сте могли да я решите?

[ганка симеонова]

[martosss]

Е, да, то въпросът е на момента да се сетиш за метода, ама предполагах, че г-н Стоянов има решение, щом я е публикувал. Все пак той предполагам е имал време да се побори с нея. Би трябвало само от графиката на функцията всичко да стане ясно Ние сега сме точно на функционален анализ и ни учат как да изследваме - производна, екстремуми, четност, периодичност, граници при x->±oo, инфлексни точки ... принципно не се използват, ама тука още 2-рото третото(четността) ни върши работа

[Baronov]

FYI: функционален анализ е нещо доста по-различно от това, което си описал. Аз сега се мъча с него и е сложна работа.

[r2d2]

Да, тежка работа си е функционалния анализ!

Сега по същество: задачата меко казано не е дорешена, а ако питате мен си е направо грешно решена (ако бъркам, извинявайте)!

[martosss]

Хм, да, всъщност за тези стойности на а трябва да проверим дали има други решения, защото x=1/x, но може други х да са решения. С това мисля вече решението ще е пълно.

[estoyanovvd]

Да. И отговорът е [tex]a=-\frac{3}{ 2} [/tex].