Регистрирайте сеРегистрирайте се

Аритметична и геометрична прогресия: логическа задача


 
   Форум за математика Форуми -> Прогресии - аритметична и геометрична прогресия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Людмила
Начинаещ


Регистриран на: 01 Jul 2009
Мнения: 3

Репутация: 1.2

МнениеПуснато на: Wed Nov 04, 2009 10:01 pm    Заглавие: Аритметична и геометрична прогресия: логическа задача



Може ли да ми погнете със последната задача. Къде ли не отидох, схеми на хорнер, безкрайно сметки. Убедена съм, че решението е доста лесно, но просто ми убягва. Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Wed Nov 04, 2009 11:28 pm    Заглавие:

ами имаш, че ако ги кръстиш трите члена a b c е изпълнено
1) геом. прогресия => b²=ac
2) с-64 => аритм. => a+(c-64)=2b
3) b-8 => пак геом => a(c-64)=(b-Cool²
Получи 3 уравнения с 3 неизвестни, остава да ги решиш Wink
Аз получавам за (a,b,c) две тройки решения - (4,20,100) и [tex]\left(\frac{4}{9},\: \frac{52}{9},\: \frac{676}{9}\right)[/tex]

Въпреки това може да има други решения ако се разгледат други подредби, примерно като намалим c със 64 да се получи аритм. прогресия a, (c-64), b, тоест двата члена да си сменят местата, тогава картинката става съвсем различна. Твоят случай, обаче, едва ли е такъв. Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Grievery
Редовен


Регистриран на: 24 Jun 2009
Мнения: 197

Репутация: 13
гласове: 6

МнениеПуснато на: Wed Nov 04, 2009 11:33 pm    Заглавие:

По условие имаме, че:
[tex]\cyr{GP}:a,b,c[/tex]
[tex]\cyr{AP}:a,b,c-64[/tex]
[tex]\cyr{GP}:a,b-8,c-64[/tex]
Използваме първо свойството на АП. Ако означим [tex]b=x[/tex], то [tex]a=x-d[/tex] и [tex]c-64=x+d[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]c=x+d+64[/tex].
След това използваме първата ГП - според едно от свойствата й всеки неин член е средногеометричен на съседните си, т.е. [tex]b^{2}=ac[/tex]
Заместваме с полученото от АП:
[tex]b^{2}=ac[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{2}=\left(x-d\right)\left(x+d+64\right)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cancel{x^{2}}=\cancel{x^{2}}+\cancel{dx}+64x-\cancel{dx}-d^{2}-64d[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]d^{2}+64d=64x[/tex] (І.)
По същия начин процедираме и за втората ГП: [tex]\left(b-8\right)^{2}=a\left(c-64\right)[/tex]
[tex]\left(b-8\right)^{2}=a\left(c-64\right)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\left(x-8\right)^{2}=\left(x-d\right)\left(x+d\right)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cancel{x^{2}}-16x+64=\cancel{x^{2}}+\cancel{dx}-\cancel{dx}-d^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]d^{2}+64=16x[/tex] (ІІ.)
Съставяме система от (І.) и (ІІ.)
[tex]\begin{tabular}{|l}d^{2}+64d=64x\\d^{2}+64=16x/.4 \end{tabular} [/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}d^{2}+64d=64x\\4d^{2}+256=64x \end{tabular}[/tex]
Изваждаме почленно двете уравнения и получаваме:
[tex]-3d^{2}+64d-256=0[/tex]
[tex]D=32^{2}-3.256=1024-768=256[/tex]

[tex]d_{1}=\frac{-32+\sqrt{256} }{-3 }=\frac{16}{3 } [/tex], [tex]d_{2}=\frac{-32-\sqrt{256} }{-3 }=16[/tex]
От (ІІ.) имаме, че: [tex]d^{2}+64=16x[/tex]
[tex]d_{1}^{2}+64=16x_{1} [/tex] [tex]\cup [/tex] [tex]d_{2}^{2}+64=16x_{2}[/tex]
[tex]\left(\frac{16}{3 } \right)^{2}+64=16x_{1}/:16[/tex] [tex]\cup [/tex] [tex]16^{2}+64=16x_{2}/:16[/tex]
[tex]\frac{16}{9 }+4=x_{1} [/tex] [tex]\cup [/tex] [tex]16+4=x_{2}[/tex]
[tex]x_{1}=\frac{52}{9 } [/tex], [tex]x_{2}=20[/tex]
Тъй като променливата [tex]x[/tex] за нас всъщност е числото [tex]b[/tex], то [tex]b_{1}=\frac{52}{9 }[/tex], [tex]b_{2}=20[/tex]
Остава да намерим другите две числа:
[tex]a_{1}=x_{1}-d_{1}=b_{1}-d_{1}=\frac{52}{9 }-\frac{16}{3 }=\frac{4}{9 }[/tex]
[tex]a_{2}=x_{2}-d_{2}=b_{2}-d_{2}=20-16=4[/tex]
[tex]c_{1}=x_{1}+d_{1}+64=b_{1}+d_{1}+64=\frac{52}{9 }+\frac{16}{3 }+64=\frac{676}{9 }[/tex]
[tex]c_{2}=x_{2}+d_{2}+64=b_{2}+d_{2}+64=20+16+64=100[/tex]
Тъй като всички намерени числа са положителни, то те са решения на задачата. Окончателно получихме две тройки числа:
[tex]a_{1},b_{1},c_{1}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\frac{4}{9 },\frac{52}{9 },\frac{676}{9 }[/tex] и [tex]a_{2},b_{2},c_{2}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]4,20,100[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Людмила
Начинаещ


Регистриран на: 01 Jul 2009
Мнения: 3

Репутация: 1.2

МнениеПуснато на: Thu Nov 05, 2009 12:21 am    Заглавие:

Мерси много. Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Прогресии - аритметична и геометрична прогресия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.