Задачи с комплексни числа

[z_zxcx]

Някой ще може ли да обясни как се решават тези задачи с комплексни числа.Трябва да се реши уравнението: l z - 2i l + l z - i l = 1 и
1<= Re ( z - 2 + 3i ) / ( 3 + 2i )<=2

[Реклама]

[Добромир Глухаров]

Нека [tex]z=x+iy, x\in R, y\in R.[/tex]
[tex]|z-2i|+|z-i|=1<=>|x+i(y-2)|+|x+i(y-1)|=1<=>\sqrt{x^2+(y-2)^2} +\sqrt{x^2+(y-1)^2} =1[/tex]
Като преобразуваме, след двукратно повдигане на квадрат, получаваме:
[tex](1-y)^2=x^2+(y-1)^2=>x=0, y\in R[/tex]
[tex]=>z=iy, y\in R[/tex]

[tex]\frac{z-2+3i}{3+2i } =\frac{(x+iy-2+3i)(3-2i)}{3^2+2^2 } =\frac{[(x-2)+i(3+y)](3-2i)}{13 } =[/tex]
[tex]=\frac{3x-6+6+2y+i(-2x+4+9+3y)}{13 }[/tex]
[tex]1\le \frac{3x+2y}{13 } \le 2[/tex]
В комплексната равнина построяваме двете прави с уравнения:
[tex]3x+2y=13[/tex] и [tex]3x+2y=26[/tex]
Решения на задачата са всички комплексни числа, които се изобразяват с точка, намираща се между тези две прави.

[z_zxcx]

Мерси много. Ще може ли обаче да ми кажеш от къде идва това sqrt{x^(2) +(y-2)^(2)} + sqrt{x^(2) + (y-1)^(2)} = 1

[Добромир Глухаров]

[tex]z=r(cos\varphi +i.sin\varphi )=x+i.y[/tex]
[tex]=>x=r.cos\varphi , y=r.sin\varphi [/tex]
[tex]=>x^2+y^2=r^2(cos^2\varphi +sin^2\varphi )=r^2[/tex]
[tex]=>r=\sqrt{x^2+y^2}[/tex]
А по дефиниция [tex]|z|=r[/tex]

Или направо по дефиниция: [tex]|a+i.b|=+\sqrt{a^2+b^2}[/tex]