Две уравнения

[stflyfisher]

Да се решат уравненията:

1). [tex] x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=8[/tex]

2). [tex] (1+(a+1)^2)log_3(2x-x^2)+(1+(3a-1)^2)log_{11}(1-\frac{x^2}{2})=log_3(2x-x^2)+log_{11}(1-\frac{x^2}{2})[/tex], където [tex] a \in \mathbb{R}[/tex]

п.п. Задачите са предназначени за кандидат-студенти.

[Реклама]

[naitsirk]

[tex]x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2 }=8 [/tex]
[tex]x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2 }+2\frac{x^2}{x+1 }-2\frac{x^2}{x+1 } =8 [/tex]
[tex](x-\frac{x}{(x+1) })^2+2\frac{x^2}{x+1 }=8 [/tex]
[tex](\frac{x^2}{x+1 })^2+2\frac{x^2}{x+1 }=8[/tex]
[tex]\frac{x^2}{x+1 }=t[/tex]
[tex]t^2+2t-8=0[/tex]
[tex]t_{1}=2,t_{2}=-4[/tex] и се връщаме в полагането...

[stflyfisher]

[martosss]

[naitsirk]

2-рата:
уравнението е аналогично на:
[tex](a+1)^2log_3(2x-x^2)+(3a-1)^2log_{11}(1-\frac{x^2}{2 } )=0[/tex]
ДМ: [tex]x\in (0;\sqrt{2} )[/tex]. Да забележим, че в ДМ логаритмите са отрицателни => целият израз в ляво е по-малък или равен на нула, като равен на 0 е когато и 2-те събираеми са нула. Логаритмите не се нулират при едно и също [tex]x[/tex] => имаме случаите:
I. [tex]a+1=0[/tex] и [tex]log_{11}(1-\frac{x^2}{2 } )=0[/tex]
Намираме [tex]a=-1,x=0\notin DM[/tex] => Н.Р.
II. [tex]3a-1=0[/tex] и [tex]log_3(2x-x^2)=0[/tex]
Намираме [tex]a=\frac{1}{3 },x=1 [/tex].
Окончателно уравнението има решение само при [tex]a=\frac{1}{3 } [/tex] и то е [tex]x=1[/tex].

Дано да няма грешки...

[stflyfisher]

И трите решения за верни.

В решението на naitsirk има малка неточност: една 3-ка, вместо 2-ка, но е верен отговора

[naitsirk]

техническа грешка...

[stflyfisher]