Регистрирайте сеРегистрирайте се

Уравнение в естествени числа


 
   Форум за математика Форуми -> Теория на числата, Признаци за деление
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
The Pink Panther
Начинаещ


Регистриран на: 11 Nov 2007
Мнения: 9

Репутация: 6.6Репутация: 6.6Репутация: 6.6Репутация: 6.6Репутация: 6.6Репутация: 6.6

МнениеПуснато на: Tue Nov 03, 2009 2:20 pm    Заглавие: Уравнение в естествени числа

Намерете всички естествени числа x, y, z, за които [tex]7^x+13^y=2^z[/tex]. Задачата е давана на Есенен математически турнир за 10.клас.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martin123456
Фен на форума


Регистриран на: 23 Oct 2009
Мнения: 533

Репутация: 33.9Репутация: 33.9Репутация: 33.9
гласове: 15

МнениеПуснато на: Tue Nov 24, 2009 1:43 pm    Заглавие: Re: Уравнение в естествени числа

1) равенството по [tex]mod7 : (-1)^y=2^z, 2^z=1,2,4 mod 7[/tex] като значи трябва да е 1, което е вярно при [tex]3/z[/tex].
2) [tex]mod 13: z=9k+3=> 2^z=8, z=9k+6=>2^z=-1, z=9k=>2^z=-8[/tex]. При разписване на остатъците по mod 13 на степените на 7, за да са равни на 3те горе, се вижда, че 3/x.

Нека x=3a, z=3b
[tex]13^y=(2^b-7^a)(2^{2b}+2^b7^a+7^{2a}) [/tex]. Не може и двата множителя да се делят на 13 (с допускане на противното) => единият (по-малкият) множител е 1. => [tex]2^b=7^a+1[/tex], mod 7 => 3/b => [tex]7^a=(2^c-1)(2^{2c}+2^c+1)[/tex], аналог пак двата множителя не се делят на 7=>по-малък е 1=>[tex]2^c=2, c=1, b=3, z=9, a=1, x=3[/tex]=>(3,2,9)
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Теория на числата, Признаци за деление Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.