Уравнение в естествени числа

[The Pink Panther]

Намерете всички естествени числа x, y, z, за които [tex]7^x+13^y=2^z[/tex]. Задачата е давана на Есенен математически турнир за 10.клас.

[Реклама]

[martin123456]

1) равенството по [tex]mod7 : (-1)^y=2^z, 2^z=1,2,4 mod 7[/tex] като значи трябва да е 1, което е вярно при [tex]3/z[/tex].
2) [tex]mod 13: z=9k+3=> 2^z=8, z=9k+6=>2^z=-1, z=9k=>2^z=-8[/tex]. При разписване на остатъците по mod 13 на степените на 7, за да са равни на 3те горе, се вижда, че 3/x.

Нека x=3a, z=3b
[tex]13^y=(2^b-7^a)(2^{2b}+2^b7^a+7^{2a}) [/tex]. Не може и двата множителя да се делят на 13 (с допускане на противното) => единият (по-малкият) множител е 1. => [tex]2^b=7^a+1[/tex], mod 7 => 3/b => [tex]7^a=(2^c-1)(2^{2c}+2^c+1)[/tex], аналог пак двата множителя не се делят на 7=>по-малък е 1=>[tex]2^c=2, c=1, b=3, z=9, a=1, x=3[/tex]=>(3,2,9)