Регистрирайте сеРегистрирайте се

детерминанти


 
   Форум за математика Форуми -> Линейна алгебра(ЛА)
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Airqn4o
Начинаещ


Регистриран на: 23 Sep 2007
Мнения: 21

Репутация: 7.6Репутация: 7.6Репутация: 7.6Репутация: 7.6Репутация: 7.6Репутация: 7.6Репутация: 7.6

МнениеПуснато на: Mon Nov 02, 2009 6:14 pm    Заглавие: детерминанти

Бихте ли ми помогнали със следната задача:

Намерете детерминантaта на матрицата:


e^x+e^(-x) 1 0 0 0...0
1 e^x+e^(-x) 1 0 0....0
.
.
.
0 0 ..... 1 e^x + e^(-x)
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
nikko1
Напреднал


Регистриран на: 23 Nov 2008
Мнения: 422

Репутация: 61.8
гласове: 36

МнениеПуснато на: Tue Nov 03, 2009 2:15 pm    Заглавие:

Нека [tex]x\neq 0[/tex]. Да означим детерминантата с [tex]\Delta_n[/tex]. Ще я пресметнем чрез метода на рекурентните връзки. Развиваме по първи ред и имаме
[tex]\Delta_n=(e^x+e^{-x})\Delta_{n-1}+(-1)^{1+2}\begin{array}{|cccccc|}1&1&0&\dots&0&0\\0&e^x+e^{-x}&1&\dots&0&0\\\dots&\dots&\dots&\dots&\dots&\dots\\0&0&0&\dots&e^x+e^{-x}&1\\0&0&0&\dots&1&e^x+e^{-x}\end{array}[/tex] и след развитие на новата детерминанта по първи стълб достигаме до рекурентната зависимост
[tex]\Delta_n=(e^x+e^{-x})\Delta_{n-1}-\Delta_{n-2}.[/tex] Можем да решим рекурентната зависимост чрез характеристичния полином [tex]y^2-(e^x+e^{-x})y+1[/tex] който има корени [tex]y_1=e^x,\ y_2=e^{-x}[/tex].
Съответно получаваме две равенства:
[tex]\Delta_n-e^x\Delta_{n-1}=e^{-x}\Delta_{n-1}-\Delta_{n-2}=e^{-x}(\Delta_{n-1}-e^x\Delta_{n-2})[/tex]
[tex]\Delta_n-e^{-x}\Delta_{n-1}=e^{x}\Delta_{n-1}-\Delta_{n-2}=e^{x}(\Delta_{n-1}-e^{-x}\Delta_{n-2})[/tex]
Имаме [tex]\Delta_1=e^x+e^{-x}, \Delta_2=\begin{array}{|cc|}e^x+e^{-x}&1\\1&e^x+e^{-x}\end{array}=e^{2x}+e^{-2x}+1[/tex].
Замествайки последователно намираме
[tex]\Delta_n-e^x\Delta_{n-1}=e^{-x}(\Delta_{n-1}-e^x\Delta_{n-2})=e^{-2x}(\Delta_{n-2}-e^x\Delta_{n-3})=\dots=e^{-(n-2)x}(\Delta_2-e^x\Delta_1)=e^{-(n-2)x}e^{-2x}=e^{-nx}[/tex]
[tex]\Delta_n-e^{-x}\Delta_{n-1}=e^{x}(\Delta_{n-1}-e^{-x}\Delta_{n-2})=e^{2x}(\Delta_{n-2}-e^{-x}\Delta_{n-3})=\dots=e^{(n-2)x}(\Delta_2-e^{-x}\Delta_1)=e^{(n-2)x}e^{2x}=e^{nx}[/tex]
Имаме система 2 уравнения с 2 неизвестни и решаваме по формулите на Крамер.
[tex]\Delta_n=\frac{\begin{array}{|cc|}e^{-nx}&-e^x\\e^{nx}&-e^{-x}\end{array}}{\begin{array}{|cc|}1&-e^x\\1&-e^{-x}\end{array}}=\frac{e^{(n+1)x}-e^{-(n+1)x}}{e^x-e^{-x}}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Линейна алгебра(ЛА) Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.