Регистрирайте се
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Airqn4o Начинаещ
Регистриран на: 23 Sep 2007 Мнения: 21
|
Пуснато на: Mon Nov 02, 2009 6:14 pm Заглавие: детерминанти |
|
|
Бихте ли ми помогнали със следната задача:
Намерете детерминантaта на матрицата:
e^x+e^(-x) 1 0 0 0...0
1 e^x+e^(-x) 1 0 0....0
.
.
.
0 0 ..... 1 e^x + e^(-x) |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
nikko1 Напреднал
Регистриран на: 23 Nov 2008 Мнения: 422
гласове: 36
|
Пуснато на: Tue Nov 03, 2009 2:15 pm Заглавие: |
|
|
Нека [tex]x\neq 0[/tex]. Да означим детерминантата с [tex]\Delta_n[/tex]. Ще я пресметнем чрез метода на рекурентните връзки. Развиваме по първи ред и имаме
[tex]\Delta_n=(e^x+e^{-x})\Delta_{n-1}+(-1)^{1+2}\begin{array}{|cccccc|}1&1&0&\dots&0&0\\0&e^x+e^{-x}&1&\dots&0&0\\\dots&\dots&\dots&\dots&\dots&\dots\\0&0&0&\dots&e^x+e^{-x}&1\\0&0&0&\dots&1&e^x+e^{-x}\end{array}[/tex] и след развитие на новата детерминанта по първи стълб достигаме до рекурентната зависимост
[tex]\Delta_n=(e^x+e^{-x})\Delta_{n-1}-\Delta_{n-2}.[/tex] Можем да решим рекурентната зависимост чрез характеристичния полином [tex]y^2-(e^x+e^{-x})y+1[/tex] който има корени [tex]y_1=e^x,\ y_2=e^{-x}[/tex].
Съответно получаваме две равенства:
[tex]\Delta_n-e^x\Delta_{n-1}=e^{-x}\Delta_{n-1}-\Delta_{n-2}=e^{-x}(\Delta_{n-1}-e^x\Delta_{n-2})[/tex]
[tex]\Delta_n-e^{-x}\Delta_{n-1}=e^{x}\Delta_{n-1}-\Delta_{n-2}=e^{x}(\Delta_{n-1}-e^{-x}\Delta_{n-2})[/tex]
Имаме [tex]\Delta_1=e^x+e^{-x}, \Delta_2=\begin{array}{|cc|}e^x+e^{-x}&1\\1&e^x+e^{-x}\end{array}=e^{2x}+e^{-2x}+1[/tex].
Замествайки последователно намираме
[tex]\Delta_n-e^x\Delta_{n-1}=e^{-x}(\Delta_{n-1}-e^x\Delta_{n-2})=e^{-2x}(\Delta_{n-2}-e^x\Delta_{n-3})=\dots=e^{-(n-2)x}(\Delta_2-e^x\Delta_1)=e^{-(n-2)x}e^{-2x}=e^{-nx}[/tex]
[tex]\Delta_n-e^{-x}\Delta_{n-1}=e^{x}(\Delta_{n-1}-e^{-x}\Delta_{n-2})=e^{2x}(\Delta_{n-2}-e^{-x}\Delta_{n-3})=\dots=e^{(n-2)x}(\Delta_2-e^{-x}\Delta_1)=e^{(n-2)x}e^{2x}=e^{nx}[/tex]
Имаме система 2 уравнения с 2 неизвестни и решаваме по формулите на Крамер.
[tex]\Delta_n=\frac{\begin{array}{|cc|}e^{-nx}&-e^x\\e^{nx}&-e^{-x}\end{array}}{\begin{array}{|cc|}1&-e^x\\1&-e^{-x}\end{array}}=\frac{e^{(n+1)x}-e^{-(n+1)x}}{e^x-e^{-x}}[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|