Уравнение

[Saposto_MM]

Да се намерят всички естествени числа x, y и z, за които [tex]2^{x}3^{y}+1=17^z[/tex].

[Реклама]

[Пафнутий]

Да разгледаме уравнението по модул 3. От [tex]17^z\equiv 1(mod 3)\Rightarrow z=2z_{1}[/tex]. Сега уравнението е еквивалентно на :
[tex]2^x.3^y=(17^{z_{1}}-1)(17^{z_{1}}+1)[/tex]. Сега, защото [tex]gcd(17^{z_{1}}-1,17^{z_{1}}+1)=2[/tex] имаме 2 случая:
1 случай:
[tex]\begin{tabular}{|l}17^{z_{1}}-1=3^y.2\\17^{z_{1}}+1=2^{x-1} \end{tabular} [/tex]. Като ги извадим почленно и съкратим на 2 получаваме [tex]2^{x-2}-3^y=1[/tex]. Ако допуснем, че [tex]x>5[/tex] , получаваме противоречие по модул 8, а останлите случаи се разглеждат отделно. Достигаме до [tex]x=4, y=1[/tex] и след директна проверка се оказва, че те не са решение и на оригиналното уравнение.
2 случай:
[tex]\begin{tabular}{|l}17^{z_{1}}+1=3^y.2\\17^{z_{1}}-1=2^{x-1} \end{tabular}[/tex]. Аналогично след изваждане и съкращаване на 2 достигаме до у-ниетo [tex]3^y-2^{x-2}=1[/tex]. Ако [tex]x>5[/tex], то по модул 8 получаваме, че [tex]y=2y_{1}[/tex]. Сега като приложим сбор по разлика намираме [tex]2^{x-2}=(3^{y_{1}}-1)(3^{y_{1}}+1)[/tex], откъдето [tex]x=5, y_{1}=1\Rightarrow y=2[/tex]. Това вече e решение и на оригиналното у-ние и довежда до [tex]z=2[/tex]. От останалите случаи след директна проверка достигаме до [tex]y=1, x=3[/tex], което обаче не удовлетворява изходното у-ние.
Окончателно, единствената [tex](x,y,z)\in\mathbb{N^3}[/tex], която е решение на задачата е [tex](5,2,2)[/tex].