Обратната задача

[estoyanovvd]

Нека точка М е от основата АВ на трапеца ABCD(AB>CD), а точка N е вътрешна за триъгълника DMC. Ако [tex]AN\cap DM=P[/tex], [tex]BN\cap CM=Q[/tex] и правите [tex]AD,BC[/tex] и [tex]MN[/tex], се пресичат в една точка, да се докаже, че [tex]PQ||AB[/tex].

[Реклама]

[martosss]

Искаше ми се да го направя по някакъв начин с хомотетия, но не можах ;(

Иначе става доста аналогично:
Сега ще построим прави през [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex], които да са успоредни на [tex]AB[/tex] и да пресичат [tex]MN[/tex] в точки [tex]T[/tex] и [tex]T_1[/tex](и двете са върху [tex]MN[/tex], откъдето [tex]b+c=b_1+c_1[/tex]).
(Нека си представяме, че правата през [tex]P[/tex] минава през [tex]T[/tex], а правата през [tex]Q[/tex] минава отдругаде. От техн. причини не съм нарисувал точка [tex]T_1[/tex], но ще си представяме, че е [tex]T[/tex]).
Тогава от [tex]MN x AD x BC= E[/tex] получаваме от подобни триъгълници:
[tex]\frac{DS}{SC}=\frac{AM}{MB}\Right AM=x, MB=kx, DS=y, SC=ky[/tex]
Нека също така [tex]PT=z, QT=z_1[/tex].
Тогава от подобните триъгълници, които се образуват, имаме
[tex]\frac{NT}{NM}=\frac{z}{x}, \frac{MT}{MS}=\frac{z}{y}[/tex]
Тогава [tex]\frac{\frac{c}{a+b+c}}{\frac{b}{b+c}}=\frac{\frac{z}{y}}{\frac{z}{x}}=\frac{x}{y}[/tex] (1)

Аналогично за точка [tex]T_1[/tex] получаваме
[tex]\frac{NT_1}{NM}=\frac{z_1}{kx}, \frac{MT_1}{MS}=\frac{c_1}{a+b+c}[/tex]
Оттук [tex]\frac{\frac{c_1}{a+b+c}}{\frac{b_1}{b+c}}=\frac{\frac{z_1}{ky}}{\frac{z_1}{kx}}=\frac{x}{y}[/tex] (2)
Тук трябва да отбележим, че [tex]b+c=b_1+c_1[/tex] и [tex]a+b_1+c_1=a+b+c[/tex], тъй като [tex]MT+TN=MT_1+T_1N=MN[/tex]
От (1) и (2) следва, че [tex]\frac{c_1}{b_1}=\frac{c}{b}[/tex], откъдето T≡T₁. Оттук PTQ||AB.