Най-голяма и най-малка стойност

[estoyanovvd]

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията
[tex]f(x)=sin^{2}x+6sin x.cos x+5cos^{2}x[/tex]
в интервала [tex][-\frac{\pi }{3 } ;1][/tex].

[Реклама]

[asdf]

[tex]f(x)=sin^{2}x+6sin x.cos x+5cos^{2}x[/tex]
[tex]f(x) = 3+3\sin2x+2\cos2x[/tex] делим на корен от 13 и получаваме
[tex]\frac{f(x)}{\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}}+cos(2x-\varphi)[/tex]
където сме положили [tex]\frac{3}{\sqrt{13}} = sin\varphi \; ; \frac{2}{\sqrt{13}} = cos\varphi[/tex] Тогава се получава, че [tex]\varphi \in (0;90)[/tex] [tex]\varphi < \frac{\pi}{12}[/tex](но е важно да се отбележи, че е строго по-голямо от 0). Тогава мин и макс на ф(х) са съответно когато [tex]cos(2x-\varphi)[/tex] е мин макс. но
[tex]-\frac{2\pi}{3} \le 2x-\varphi \le 2-\varphi \; ; \; 2-\varphi \ge \frac{\pi}{2}[/tex]. Тогава се вижда, че 2x-fi може да приема такива ст-ти, че cos(2x-fi)=0 и cos(2x-fi)=1. тогава НМС = 3 \; НГС = [tex]3+\sqrt{13}[/tex]

[asdf]

А между другото има и по-лесен начин. Тъй като навсякъде имаме 2ра степен, то можем да ползваме основната субституция [tex]tgx=t \; sinx = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \; cosx=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}[/tex] Получава се [tex]f(t)=\frac{t^2+6t+5}{1+t^2}[/tex] Сега можем да работим с производни.

[asdf]

Всъщност май в 1-вото решение има някаква грешка(но все пак мисля, че е друг възможен начин за решение и няма да го трия ). Като се полазват производни излизат други отговори - мисля, че всеки може да си ги сметне

[martosss]

Във втория вариант не е ли [tex]f(t)=\frac{t^2+6t+5}{t^2+1}[/tex]
Впрочем за най-малката стойност май получавам отрицателно число, най-малкото, че при x=-45° става 0

[estoyanovvd]

[martosss]

Ем получих НМС при -п/3 => [tex]4-3\sqrt 3[/tex], а НГС - при x=1, само че не знам колко е

[estoyanovvd]

[Добромир Глухаров]

Н.М.С.: [tex]f(-\frac{\pi }{3})=2-\frac{3\sqrt{3} }{2 }[/tex]
Н.Г.С.: [tex]f[arctg(\frac{\sqrt{13}-2 }{3 })]\approx 6,60555127546399[/tex]

[martosss]

[Добромир Глухаров]