Регистрирайте сеРегистрирайте се

Най-голяма и най-малка стойност


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Sat Oct 31, 2009 6:48 pm    Заглавие: Най-голяма и най-малка стойност

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията
[tex]f(x)=sin^{2}x+6sin x.cos x+5cos^{2}x[/tex]
в интервала [tex][-\frac{\pi }{3 } ;1][/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
asdf
Начинаещ


Регистриран на: 06 Oct 2009
Мнения: 32

Репутация: 4.9Репутация: 4.9Репутация: 4.9Репутация: 4.9
гласове: 3

МнениеПуснато на: Sat Oct 31, 2009 7:17 pm    Заглавие: Re: Най-голяма и най-малка стойност

[tex]f(x)=sin^{2}x+6sin x.cos x+5cos^{2}x[/tex]
[tex]f(x) = 3+3\sin2x+2\cos2x[/tex] делим на корен от 13 и получаваме
[tex]\frac{f(x)}{\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}}+cos(2x-\varphi)[/tex]
където сме положили [tex]\frac{3}{\sqrt{13}} = sin\varphi \; ; \frac{2}{\sqrt{13}} = cos\varphi[/tex] Тогава се получава, че [tex]\varphi \in (0;90)[/tex] [tex]\varphi < \frac{\pi}{12}[/tex](но е важно да се отбележи, че е строго по-голямо от 0). Тогава мин и макс на ф(х) са съответно когато [tex]cos(2x-\varphi)[/tex] е мин макс. но
[tex]-\frac{2\pi}{3} \le 2x-\varphi \le 2-\varphi \; ; \; 2-\varphi \ge \frac{\pi}{2}[/tex]. Тогава се вижда, че 2x-fi може да приема такива ст-ти, че cos(2x-fi)=0 и cos(2x-fi)=1. тогава НМС = 3 \; НГС = [tex]3+\sqrt{13}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
asdf
Начинаещ


Регистриран на: 06 Oct 2009
Мнения: 32

Репутация: 4.9Репутация: 4.9Репутация: 4.9Репутация: 4.9
гласове: 3

МнениеПуснато на: Sat Oct 31, 2009 7:20 pm    Заглавие:

А между другото има и по-лесен начин. Тъй като навсякъде имаме 2ра степен, то можем да ползваме основната субституция [tex]tgx=t \; sinx = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \; cosx=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}[/tex] Получава се [tex]f(t)=\frac{t^2+6t+5}{1+t^2}[/tex] Сега можем да работим с производни.

Последната промяна е направена от asdf на Sat Oct 31, 2009 7:48 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
asdf
Начинаещ


Регистриран на: 06 Oct 2009
Мнения: 32

Репутация: 4.9Репутация: 4.9Репутация: 4.9Репутация: 4.9
гласове: 3

МнениеПуснато на: Sat Oct 31, 2009 7:24 pm    Заглавие:

Всъщност май в 1-вото решение има някаква грешка(но все пак мисля, че е друг възможен начин за решение и няма да го трия Razz). Като се полазват производни излизат други отговори - мисля, че всеки може да си ги сметне Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Oct 31, 2009 7:47 pm    Заглавие:

Във втория вариант не е ли [tex]f(t)=\frac{t^2+6t+5}{t^2+1}[/tex] Question
Впрочем за най-малката стойност май получавам отрицателно число, най-малкото, че при x=-45° става 0
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Thu Nov 05, 2009 7:26 pm    Заглавие: Re: Най-голяма и най-малка стойност

asdf написа:
Тогава се получава, че [tex]\varphi \in (0;90)[/tex] [tex]\varphi < \frac{\pi}{12}[/tex](но е важно да се отбележи, че е строго по-голямо от 0). Тогава мин и макс на ф(х) са съответно когато [tex]cos(2x-\varphi)[/tex] е мин макс. но
[tex]-\frac{2\pi}{3} \le 2x-\varphi \le 2-\varphi \; ; \; 2-\varphi \ge \frac{\pi}{2}[/tex]. Тогава се вижда, че 2x-fi може да приема такива ст-ти, че cos(2x-fi)=0 и cos(2x-fi)=1. тогава НМС = 3 \; НГС = [tex]3+\sqrt{13}[/tex]


Грешки виждам няколко!!! Twisted Evil Twisted Evil Twisted Evil Да вземеш да се поправиш! Най-малката стойност не е толкова и не се достига при косинус равен на нула.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Nov 05, 2009 11:43 pm    Заглавие:

Ем получих НМС при -п/3 => [tex]4-3\sqrt 3[/tex], а НГС - при x=1, само че не знам колко е Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Fri Nov 06, 2009 2:41 pm    Заглавие:

martosss написа:
Ем получих НМС при -п/3 => [tex]4-3\sqrt 3[/tex], а НГС - при x=1, само че не знам колко е Laughing

Мисля, че пак е грешно!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Добромир Глухаров
Редовен


Регистриран на: 19 Sep 2008
Мнения: 148
Местожителство: София
Репутация: 18.8Репутация: 18.8
гласове: 8

МнениеПуснато на: Fri Nov 06, 2009 5:23 pm    Заглавие:

Н.М.С.: [tex]f(-\frac{\pi }{3})=2-\frac{3\sqrt{3} }{2 }[/tex]
Н.Г.С.: [tex]f[arctg(\frac{\sqrt{13}-2 }{3 })]\approx 6,60555127546399[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Fri Nov 06, 2009 7:32 pm    Заглавие:

Добромир Глухаров написа:
Н.М.С.: [tex]f(-\frac{\pi }{3})=2-\frac{3\sqrt{3} }{2 }[/tex]
точно така, не знам какво ми е станало, нещо съм оплескал сметките Very Happy а този арктангенс как го получаваш?

Последната промяна е направена от martosss на Fri Nov 06, 2009 10:31 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Добромир Глухаров
Редовен


Регистриран на: 19 Sep 2008
Мнения: 148
Местожителство: София
Репутация: 18.8Репутация: 18.8
гласове: 8

МнениеПуснато на: Fri Nov 06, 2009 8:07 pm    Заглавие:

martosss написа:
Добромир Глухаров написа:
Н.М.С.: [tex]f(-\frac{\pi }{3})=2-\frac{3\sqrt{3} }{2 }[/tex]
точно така, не знам какво ми е станало, нещо съм оплескал сметките Very Happy а този арктангенс как го получаваш?


Решавайки уравнението [tex]f'(t)=0[/tex] получавам [tex]t_0=\frac{\sqrt{13}-2 }{3 }[/tex] . Но [tex]tg(-\frac{\pi }{3 })<t_0<tg(1)[/tex] [tex]=>[/tex] за [tex]t=t_0[/tex] [tex]f(t)[/tex] има локален екстремум, който, като се сравни със стойностите на функцията в краищата на интервала, се оказва глобален.

А от [tex]tg(x_0)=t_0=>x_0=arctg(t_0)[/tex], понеже [tex]-\frac{\pi }{2 } <x_0<\frac{\pi }{2 }[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.