Ирационално уравнение

[ontarioto]

Може ли да ви помоля за съвет със следното ирационално уравнение

[Реклама]

[asdf]

ДС: [tex]x \ge 3[/tex]. Записваме уравнението във вида:

[tex]3\sqrt{1-\frac{1}{x}}+ \sqrt{x-\frac{9}{x}} = x[/tex]
Полагаме [tex]\sqrt{1-\frac{1}{x}} = a \Rightarrow a^2 = 1-\frac{1}{x}[/tex]
[tex]\sqrt{x-\frac{9}{x}} = b \Rightarrow b^2 = x-\frac{9}{x}[/tex]
Тогава имаме:
[tex]3a+b=x [/tex]
[tex]b^2-9a^2=x-9[/tex] (виж полагането)
[tex]\Rightarrow (b-3a)(b+3a)=x-9[/tex] но [tex]3a+b=x \Rightarrow x(b-3a)=x-9 \Rightarrow b-3a = 1-\frac{9}{x}[/tex] и [tex]b+3a=x[/tex] Събираме почленно и се получава [tex]b=\frac{1}{2}(x-\frac{9}{x}+1) \Leftrightarrow b=\frac{1}{2}(b^2+1) \Leftrightarrow (b-1)^2 =0 \Rightarrow b=1[/tex]
Тогава [tex]x-\frac{9}{x}=1[/tex], което имайки предвид ДС има решение [tex]x=\frac{1+\sqrt{37}}{2}[/tex]

[ontarioto]

хиляди благодарности