Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача 27


 
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Thu Oct 29, 2009 9:04 pm    Заглавие: Задача 27

Докажете или опровергайте: Съществуват безброй много цели числа от вида [tex](a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})[/tex], където [tex]a,b \in\mathbb{Z}[/tex].
(Shaastra 09)
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
allier
Начинаещ


Регистриран на: 14 Aug 2008
Мнения: 65

Репутация: 14.4
гласове: 6

МнениеПуснато на: Fri Oct 30, 2009 12:00 pm    Заглавие:

[tex] x_{1 }=1, x_{2 }=2, x_{n+1 } = 3.x_{n } - x_{n-1 } [/tex]
[tex] (a, b) = (x_{i }, x_{i+1 }) [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Fri Oct 30, 2009 9:12 pm    Заглавие:

Това е така, но все пак напиши как достигна до него. Мисля, че това е по-интересното в случая.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krassi_holmz
Редовен


Регистриран на: 05 Jan 2006
Мнения: 146
Местожителство: Ню Йорк, BG
Репутация: 57.9
гласове: 18

МнениеПуснато на: Mon Nov 02, 2009 12:48 pm    Заглавие:

Задачата е еквивалентна на диофантовото уравнение:
[tex]1+a^2+b^2 = k a b[/tex]
което е частен случай на уравнението на Марков:
[tex]a^2+b^2+c^2 = k a b c[/tex]
Понеже апарата за решаване на уравнения, подобни на уравнението на Марков, е особено интересен и може да свърши работа някъде, ще го изложа тук:

Задача: Да се намерят за кои стойности на [tex]k[/tex] уравнението на Марков има решение в цели числа и кои се те?

1. Нека [tex]k=2[/tex]. Тогава или едно, или три от числата [tex]a,b,c[/tex] са четни. Ако е едно, лявата страна не се дели на 4. Ако и трите са четни, тогава:

[tex]x=2x_1, y = 2y_1, z = 2z_1[/tex]
[tex]x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 4x_1 y_1 z_1[/tex]
Това е невъзможно от метода за безкрайното спускане.

Ако [tex]k \gt 3[/tex], и [tex](a,b,c)[/tex] е решение на уравнението, то [tex]a,b,c[/tex] са две по две различни. Наистина, ако [tex]a=b[/tex], то:
[tex]2a^2+c^2 = ka^2c[/tex]
[tex]c^2=a^2(kc-2)[/tex]
Оттук
[tex]c = b d[/tex]
[tex]b^2 d^2 = a^2(k b d - 2)[/tex]
[tex]d(k b-d) = 2[/tex]
[tex]d=1,2[/tex], но тогава [tex]kb=3[/tex], което противоречи на [tex]k > 3[/tex]

Сега, нека: [tex]a > b > c[/tex]
Уравнението на Марков съявява квадратно уравнение спрямо а:
[tex]f(x) = x^2 - k b c x + b^2 + c^2[/tex]
Корените му са
[tex]a, a_1[/tex]
Понеже:
[tex]f(b) = 2 b^2 + c^2 - k b^2 c < 3 b^2 - k b^2 c < 0[/tex]
то [tex]a > b > a_1[/tex]
и [tex](a_1, b, c)[/tex] е ново решение на Марковото диофантово уравнение със по-малка максимална координата. Сега, от принципа за спускането, това е невъзможно.

Сега, ако [tex]k = 3[/tex], и две от числата са равни, то третото е 1.Така се намират базисните решения на Марковото уравнение:
(1,1,1) и (2,1,1).

Сега, използваме същият метод, по който докзахме, че за к>3 няма решение. Ако имаме небазисно решение (a,b,c), на него му съотвестват 3 решения (a',b,c) , (a,b',c), (a,b,c'), където:
[tex]a' = 3b c - a[/tex]
[tex]b' = 3a b - b[/tex]
[tex]c' = 3 a b - c[/tex]
Лесно се проверява, че едно от тези решения има по-малка максимална координата от (a,b,c).
Така, стартирайки от произволно решение на уравнението на Марков, можем да стигнем до базово решение. Като обърнем процеса може на получим всички решения на уравнението на Марков, под формата на дърво.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.