Задача 27

[krainik]

Докажете или опровергайте: Съществуват безброй много цели числа от вида [tex](a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})[/tex], където [tex]a,b \in\mathbb{Z}[/tex].
(Shaastra 09)

[Реклама]

[allier]

[tex] x_{1 }=1, x_{2 }=2, x_{n+1 } = 3.x_{n } - x_{n-1 } [/tex]
[tex] (a, b) = (x_{i }, x_{i+1 }) [/tex]

[krainik]

Това е така, но все пак напиши как достигна до него. Мисля, че това е по-интересното в случая.

[krassi_holmz]

Задачата е еквивалентна на диофантовото уравнение:
[tex]1+a^2+b^2 = k a b[/tex]
което е частен случай на уравнението на Марков:
[tex]a^2+b^2+c^2 = k a b c[/tex]
Понеже апарата за решаване на уравнения, подобни на уравнението на Марков, е особено интересен и може да свърши работа някъде, ще го изложа тук:

Задача: Да се намерят за кои стойности на [tex]k[/tex] уравнението на Марков има решение в цели числа и кои се те?

1. Нека [tex]k=2[/tex]. Тогава или едно, или три от числата [tex]a,b,c[/tex] са четни. Ако е едно, лявата страна не се дели на 4. Ако и трите са четни, тогава:

[tex]x=2x_1, y = 2y_1, z = 2z_1[/tex]
[tex]x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 4x_1 y_1 z_1[/tex]
Това е невъзможно от метода за безкрайното спускане.

Ако [tex]k \gt 3[/tex], и [tex](a,b,c)[/tex] е решение на уравнението, то [tex]a,b,c[/tex] са две по две различни. Наистина, ако [tex]a=b[/tex], то:
[tex]2a^2+c^2 = ka^2c[/tex]
[tex]c^2=a^2(kc-2)[/tex]
Оттук
[tex]c = b d[/tex]
[tex]b^2 d^2 = a^2(k b d - 2)[/tex]
[tex]d(k b-d) = 2[/tex]
[tex]d=1,2[/tex], но тогава [tex]kb=3[/tex], което противоречи на [tex]k > 3[/tex]

Сега, нека: [tex]a > b > c[/tex]
Уравнението на Марков съявява квадратно уравнение спрямо а:
[tex]f(x) = x^2 - k b c x + b^2 + c^2[/tex]
Корените му са
[tex]a, a_1[/tex]
Понеже:
[tex]f(b) = 2 b^2 + c^2 - k b^2 c < 3 b^2 - k b^2 c < 0[/tex]
то [tex]a > b > a_1[/tex]
и [tex](a_1, b, c)[/tex] е ново решение на Марковото диофантово уравнение със по-малка максимална координата. Сега, от принципа за спускането, това е невъзможно.

Сега, ако [tex]k = 3[/tex], и две от числата са равни, то третото е 1.Така се намират базисните решения на Марковото уравнение:
(1,1,1) и (2,1,1).

Сега, използваме същият метод, по който докзахме, че за к>3 няма решение. Ако имаме небазисно решение (a,b,c), на него му съотвестват 3 решения (a',b,c) , (a,b',c), (a,b,c'), където:
[tex]a' = 3b c - a[/tex]
[tex]b' = 3a b - b[/tex]
[tex]c' = 3 a b - c[/tex]
Лесно се проверява, че едно от тези решения има по-малка максимална координата от (a,b,c).
Така, стартирайки от произволно решение на уравнението на Марков, можем да стигнем до базово решение. Като обърнем процеса може на получим всички решения на уравнението на Марков, под формата на дърво.