Уравнение

[blqaa]

[tex]f\left(x\right)[/tex] е непрекъсната и дефинирана в [tex]\mathbb{R}[/tex]. Намерете [tex]f\left(x\right)[/tex], ако е изпълнено [tex]2f\left(x\right)+f\left(1-x\right)=3-xf\left(1\right)[/tex].

[Реклама]

[stflyfisher]

[stflyfisher]

[tex]2f\left(x\right)+f\left(1-x\right)=3-xf\left(1\right)[/tex]

при [tex] x=0=>2f(0)+f(1-0)=3-0.f(1)<=>2f(0)+f(1)=3[/tex]

при [tex] x=1=>2f(1)+f(1-1)=3-1f(1)=>2f(1)+f(0)=3-f(1)=>f(0)+3f(1)=3[/tex]

[tex] => \begin{tabular}{|l}2f(0)+f(1)=3\\f(0)+3f(1)=3\end{tabular}[/tex]

Линейна система с две неизвестни. Решава се относно [tex] f(1)=>[/tex]

[tex] f(1)=\frac{3}{5}=>[/tex]

[tex] f(t)=\frac{1}{3}C(1-3t)+1=\frac{1}{3}f(1)(1-3t)+1=\frac{1}{3}.\frac{3}{5}(1-3t)+1=-\frac{3}{5}t+\frac{6}{5}=>[/tex]

[tex]f(t)=-\frac{3}{5}t+\frac{6}{5}[/tex], която е дефинирана и непрекъсната в [tex]\mathbb{R}=>[/tex]

=> Търсената функция е: [tex]f(x)=-\frac{3}{5}x+\frac{6}{5}[/tex].

п.п. За проверка на решението замести [tex]f(x)=-\frac{3}{5}x+\frac{6}{5}[/tex] в първоначално поставеното условие за функцията: [tex]2f\left(x\right)+f\left(1-x\right)=3-xf\left(1\right)[/tex] и трябва да се получи вярно тъждество т.е.

[tex]2[-\frac{3}{5}x+\frac{6}{5}]+[-\frac{3}{5}(1-x)+\frac{6}{5}]=...=3-x\frac{3}{5}[/tex]

[mkmarinov]

Може и по-лесно.
1)Нека х=0.
[tex]2.f(0)+f(1)=3[/tex]
[tex]f(1)=3-2.f(0)[/tex]
2)Нека х=1.
[tex]2.f(1)+f(0)=3-f(1)[/tex]
[tex]f(0)=3-3.f(1)[/tex]
След заместване в (1) се получава, че [tex]f(1)=\frac{3}{5}[/tex]
[tex]2.f(x)+f(1-x)=3-\frac{3}{5}x(*)[/tex]
Сега, нека [tex]x=1-x[/tex]
[tex]2.f(1-x)+f(x)=3-\frac{3}{5}(1-x)[/tex]
[tex]2.f(1-x)+f(x)=\frac{12}{5}+\frac{3}{5}x[/tex]
Събрано със *:
[tex]3.f(1-x)+3.f(x)=\frac{27}{5}[/tex]
[tex]f(x)+f(1-x)=\frac{9}{5}[/tex]
Което, след като се замести в условието:
[tex]2.f(x)+f(1-x)=f(x)+(f(x)+f(1-x))=f(x)+\frac{9}{5}=3-\frac{3}{5}x[/tex]
[tex]f(x)=-\frac{3}{5}x+\frac{6}{5}[/tex]