Неравенства с параметър

[DevilFighter]

Да се намерят всички стойности на параметъра а, при които всяко решение на неравенството: 4x² -2(a² + 2)x + a² + 1 ≤ 0 е решение и на неравенството : 2аx - 3a - √(2x-1) ≤ 2

Означавам с :

(1) 4x² -2(a² + 2)x + a² + 1 ≤ 0
(2) 2аx - 3a - √(2x-1) ≤ 2

Преработвам второто неравенство:

√(2x-1) ≥ 2аx - 3a - 2

|2x-1 ≥ 0 U |2аx - 3a - 2 ≥ 0
|2аx - 3a - 2 ≤ 0 |√(2x-1) ≥ 2аx - 3a - 2 / ²

|x ≥ 1/2 U |x ≥(3a -2)/2a
|x ≤(3a -2)/2a

√(2x-1) ≥ 2аx - 3a - 2 / ² =>

4a²x² -2(6a² + 4a + 1)x + 9a² + 12a + 5 ≤ 0

(1) 4x² -2(a² + 2)x + a² + 1 ≤ 0
(2) 4a²x² -2(6a² + 4a + 1)x + 9a² + 12a + 5 ≤ 0

(1) 4x² -2(a² + 2)x + a² + 1 ≤ 0
D = a⁴
x1 = 1/2 ; x2 = (a² + 1)/2

(2) 4a²x² -2(6a² + 4a + 1)x + 9a² + 12a + 5 ≤ 0
D = 8a² + 8a +1
Чрез формули на Виет установявам следното :
x1 + x2 = (6a² + 4a + 1) / (4a²)
x1 + x2 > 0 за всяко а
x1 * x2 = (9a² + 12a + 5 ) / (4a²)
x1 * x2 > 0 за всяко а =>

|x1>0
|x2>0 (и двата корена на (2) са положителни)

1ви случай :
D(1) = 0 => a= 0
(1) x = 1/2
(2) x ≥ 5/2 и условието не е изпълнено => този случай отпада

2ри случай :
D(1) > 0 = > a⁴ > 0 за всяко а различно от 0
D(2) > 0 => 8a² + 8a +1 > 0 = > x E ( -oo ; (-2-√(2) ) / 4 ) U (-2 + √(2) ) / 4 ; +oo )

(1)x E [1/2 ; (a² + 1)/2 ]
(2)x E [x1 ; x2]

За да е изпълнено условието трябва 1/2 и (a² + 1)/2 да са между корените на (2) x1 и x2

|D(2) > 0
|4a² * f(1/2) ≤ 0

4a² * f(1/2) ≤ 0
4a² * (а + 1)² ≤ 0 =>
a = -1 при тази ст-т на а условието е изпълнено от всякъде.

Но дали има някакви други ст-ти за параметъра а Това се чудя и изобщо нямам напредстава дали така става задачата.Ако може кандидатстудентите да помагат.

[Реклама]

[Tony_89]

Ами, аз получавам друго.

След непосредствена проверка със стойността, която си получил се вижда, че тя не е решение, защото при нея, решението на първото неравенство е:

x E [(3 - √5)/2 ; (3 + √5)/2]

а на второто е:

x E [1/2 ; +∞)

1/2 E [(3 - √5)/2 ; (3 + √5)/2]

Моето решение:

Разглеждаме първото неравенство:

4*x² - 2*(a² + 2)*x + a² ≤ 0

D = 4*(a⁴ + 4) > 0 за всяко a

Можем да направим извода, че решението на задачата е:

x E [x₁ ; x₂]

Нека 4*x² - 2*(a² + 2)*x + a² = f(x)

От второто неравенство имаме ДС : x E [1/2 ; +∞) =>

=> за да може всяко решение на първото неравенство да е решение и на второто трябва да е изпълнено:

|D > 0
|4*f(1/2) ≥ 0
|1/2 < -(-2*(a² + 2))/(2*4)

Само че f(1/2) = -1 =>

=> задачата няма решение.

[DevilFighter]

Tony_89 приеми моите най - големи извинения.Объркал съм условието на задачата.В неравенство (1) съм изпуснал да напиша една 1-ца.Извинявам се много и ако желаеш погледни сега задачата с вярното условие. А уж гледах много условието да не го сгреша..

П.П.Условието от по-горе е вече вярно

[Tony_89]

Sry, че се забавих, напоследък нямах време.

Решението на първото неравенство е x E [1/2 ; (a² + 1)/2]

Разглеждаме второто:

2*a*x - 3*a - SQRT(2*x - 1) ≤ 2

2*a*x - a - SQRT(2*x - 1) - 2*a - 2 ≤ 0

a*(2*x - 1) - SQRT(2*x - 1) - 2*a - 2 ≤ 0

Нека SQRT(2*x - 1) = u ≥ 0

a*u² - u - 2*a - 2 ≤ 0

D = (-1)² - 4*a*(-2*a - 2) = 8*a² + 8*a + 1

За да има неравенството решение трябва D ≥ 0

Тогава решението на неравенството е u E [u₁ ; u₂]

От първото неравенство имаме:

x E [1/2 ; (a² + 1)/2]

x ≥ 1/2

2*x ≥ 1

2*x - 1 ≥ 0

SQRT(2*x - 1) ≥ 0

x ≤ (a² + 1)/2

2*x ≤ a² + 1

2*x - 1 ≤ a²

SQRT(2*x - 1) ≤ |a|

SQRT(2*x - 1) E [0 ; |a|]

u E [0 ; |a|]

Нека a*u² - u - 2*a - 2 = f(u)

Всяко решение на първото неравенство е решение и на второто при:

|f(0) ≤ 0
|f(|a|) ≤ 0
|D ≥ 0

f(0) ≤ 0

-2*a - 2 ≤ 0

a ≥ -1

f(|a|) ≤ 0

a*(|a|)² - |a| - 2*a - 2 ≤ 0

a³ - |a| - 2*a - 2 ≤ 0

I случай: a E [-1 ; 0)

a³ - (-a) - 2*a - 2 ≤ 0

a³ - a - 2 ≤ 0

a³ - (a + 2) ≤ 0

a E [-1 ; 0) =>

=> a³ < 0

a + 2 > 0 =>

=> a³ - (a + 2) < 0 =>

=> a E [-1 ; 0) е решение

II случай: а Е [0 ; +∞)

a³ - a - 2*a - 2 ≤ 0

a³ - 3*a - 2 ≤ 0

a³ + 1 - 3*a - 3 ≤ 0

(a + 1)*(a² - a + 1) - 3*(a + 1) ≤ 0

(a + 1)*(a² - a - 2) ≤ 0

а Е [0 ; +∞) =>

=> a + 1 > 0 =>

=> a² - a - 2 ≤ 0

(a - 2)*(a + 1) ≤ 0

|a E [-1 ; 2]
|а Е [0 ; +∞) =>

=> a E [0 ; 2]

a E I случай U II случай =>

=> а Е [-1 ; 2]

D ≥ 0

8*a² + 8*a + 1 ≥ 0

(a - (-√2 - 2)/4)*(a - (√2 - 2)/4) ≥ 0

|a E (-∞ ; (-√2 - 2)/4] U [(√2 - 2)/4 ; +∞)
|а Е [-1 ; 2] =>

=> a E [-1 ; (-√2 - 2)/4] U [(√2 - 2)/4 ; 2]

[DevilFighter]

Благодаря много за решението.Скоро ще пусна подобна задача,за да сравним решенията.
Тази задача ме затрудни също :
Да се намерят всички ст-ти на параметъра а,за които нерав.
√(x-3a+1) > 2|x|
има поне едно решение в интервала [-1;1]

[uktc]

[DevilFighter]

uktc нямам отговор,но аз получавам същия отговор.Постни да видим какво ти е решението.И аз ще напиша моето решение,но малко по късно защото сега трябва да тръгвам за училище.

Да се намерят всички ст-ти на параметъра а,за които нерав.
√(x-3a+1) > 2|x|
има поне едно решение в интервала [-1;1]

1сл. x E [-1;0)
√(x-3a+1) > -2x /²

|x-3a+1 ≥ 0
|x>0 ; x< 0

4x² -x +3a - 1 < 0
D = 17 - 48a ≥ 0 => a ≤ 17/48
x E (x1 ; x2)

1)-1 ≤ x1 ≤ 0 ≤ x2
|D ≥ 0
|f(0) = 3a -1 < 0 => a< 1/3
|f(-1) = 3a + 4 > 0 => a > -4/3 => a E (-4/3 ; 1/3)

2) x1 ≤ -1 ≤ x2 ≤ 0
|D ≥ 0
|f(0) = 3a -1 > 0 => a > 1/3
|f(-1) = 3a + 4 ≤ 0 => a ≤ -4/3 => a E (-oo ; -4/3] U (1/3 ; 17/48]

3)-1 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 0
|D ≥ 0
|f(0) = 3a -1 > 0 => a > 1/3
|f(-1) = 3a + 4 ≥ 0 => a ≥ -4/3 = > a E (1/3 ; +oo) U ДС: => a E (1/3 ; 17/48]

2сл. x E (0 ; 1]
√(x-3a+1) > -2x /²

|x-3a+1 ≥ 0
|x>0 ; x< 0

4x² -x +3a - 1 < 0
D = 17 - 48a ≥ 0 => a ≤ 17/48
x E (x1 ; x2)

1)x1 ≤ 0 ≤ x2 ≤ 1
|D ≥ 0
|f(0) = 3a - 1 ≤ 0 => a ≤ 1/3
|f(1) = 3a + 2 ≥ 0 => a ≥ -2/3 => a E [-2/3 ; 1/3]

при а = 1/3 => √(x) > -2x => 4x² - x < 0 => x E (0;4)

2) 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 1
|D ≥ 0
|f(0) = 3a - 1 ≥ 0 => a ≥ 1/3
|f(1) = 3a + 2 ≥ 0 => a ≥ -2/3 => a E [1/3 ;17/48 ]

3) 0 ≤ x1 ≤ 1 ≤ x2
|D ≥ 0
|f(0) = 3a - 1 ≥ 0 => a ≥ 1/3
|f(1) = 3a + 2 ≤ 0 => a ≤ -2/3 = > a E (-oo ; -2/3] U [1/3 ; 17/48]

Като обединя всички получени интервали получавам x E (-oo ; 17/48]