Регистрирайте сеРегистрирайте се

Четириъгълник и окръжност


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Wed Oct 28, 2009 11:53 pm    Заглавие: Четириъгълник и окръжност

Продълженията на страните [tex]AB, BC, CD[/tex] и [tex]DA[/tex] на четириъгълник [tex]ABCD[/tex] допират окръжност с дължина на радиуса [tex]r[/tex], съответно в точки [tex]A_{1}, B_{1}, C_{1}[/tex] и [tex]D_{1}[/tex]. Нека [tex]AA_{1}=a, BB_{1}=b, CC_{1}=c[/tex] и [tex]DD_{1}=d[/tex]. Ако четириъгълникът [tex]ABCD[/tex] е и вписан в окръжност, да се докаже, че [tex]r^{2}(a+b+c+d)=abc+abd+acd+bcd[/tex].

Последната промяна е направена от ins- на Fri Oct 30, 2009 12:53 am; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
georgi111
Начинаещ


Регистриран на: 22 May 2009
Мнения: 10

Репутация: 4.1Репутация: 4.1Репутация: 4.1Репутация: 4.1
гласове: 2

МнениеПуснато на: Thu Oct 29, 2009 12:01 pm    Заглавие:

Мисля че има лека грешка. 2 пъти фигурира bcd. А иначе се доказва лесно . Нека О1 е центъра на окръжността до която се допират прдълженията на страните. Тогава лесно имаме : [tex]tg(A/2) = \frac{r}{a}[/tex] и [tex]cotg(C/2) = tg(90 - C/2) = \frac{r}{c}[/tex]. Тогава [tex]r^2 = ac[/tex] и аналогично се установява че [tex]r^2 = bd[/tex] (Всичко защото A+C=B+D=180). Сега от [tex](r^2-bd)(a+c) + (r^2-ac)(b+d)=0[/tex] следва исканото в условието.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Fri Oct 30, 2009 12:55 am    Заглавие:

Благодаря за решението. Кратко ясно и разбираемо! Грешката вече е поправена.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.