Четириъгълник и окръжност

[ins-]

Продълженията на страните [tex]AB, BC, CD[/tex] и [tex]DA[/tex] на четириъгълник [tex]ABCD[/tex] допират окръжност с дължина на радиуса [tex]r[/tex], съответно в точки [tex]A_{1}, B_{1}, C_{1}[/tex] и [tex]D_{1}[/tex]. Нека [tex]AA_{1}=a, BB_{1}=b, CC_{1}=c[/tex] и [tex]DD_{1}=d[/tex]. Ако четириъгълникът [tex]ABCD[/tex] е и вписан в окръжност, да се докаже, че [tex]r^{2}(a+b+c+d)=abc+abd+acd+bcd[/tex].

[Реклама]

[georgi111]

Мисля че има лека грешка. 2 пъти фигурира bcd. А иначе се доказва лесно . Нека О1 е центъра на окръжността до която се допират прдълженията на страните. Тогава лесно имаме : [tex]tg(A/2) = \frac{r}{a}[/tex] и [tex]cotg(C/2) = tg(90 - C/2) = \frac{r}{c}[/tex]. Тогава [tex]r^2 = ac[/tex] и аналогично се установява че [tex]r^2 = bd[/tex] (Всичко защото A+C=B+D=180). Сега от [tex](r^2-bd)(a+c) + (r^2-ac)(b+d)=0[/tex] следва исканото в условието.

[ins-]

Благодаря за решението. Кратко ясно и разбираемо! Грешката вече е поправена.