Задачи по аритметична прогресия ...

[Нани]

Задача 1:

Докажете, че ако числата 1/(b+ c) , 1/(c + a), 1/(a + b) образуват аритметична прогресия то числата a2, b2, c2 също образуват аритметична прогресия.

Задача 2:

Докажете, че ако a, b и c образуват аритметична прогресия, то a2+ab+b2 , a2+ac+c2 , b2+bc+c2 също образуват аритметична прогресия.


Ако може някой да ми помогне много ще съм му благодарна

[Реклама]

[Добромир Глухаров]

Необходимо и достатъчно уславие (НДУ) числата А,В,С да образуват аритметична прогресия е 2В=А+С.

По първа задача имаш:

[tex]\frac{2}{a+c } =\frac{1}{b+c } +\frac{1}{a+b } [/tex]

Привеждаш под общ знаменател, приравняваш числителите, разкриваш скобите и съкращаваш еднаквите членове вляво и вдясно.

Трябва да получиш:

[tex]2b^2=a^2+c^2,[/tex] т.е. [tex]a^2,b^2,c^2[/tex] образуват аритметична прогресия.

Втора задача се решава аналогично.

[Добромир Глухаров]

Съжалявам - втората задача не може да се реши лесно по аналогичен на първата начин. Всъщност получих, че ако това, което трябва да се докаже е вярно, трябва:
[tex]a=b=c[/tex]
Сигурно нещо бъркам някъде .

[Добромир Глухаров]

Видях си грешката. При втора задача трябва да докажеш, че:

[tex]a^2+ab+b^2+b^2+bc+c^2=2a^2+2ac+2c^2 (*)[/tex]

като използваш, че [tex]a+c=2b[/tex]

Като преобразуваш [tex](*)[/tex] стигаш до

[tex](a+c)^2=b(2b+a+c)[/tex]
[tex]4b^2=b.4b[/tex] - тъждество.

[ганка симеонова]

Ясно е, че [tex]a+c=2b[/tex](1)
Да видим дали е изпълнено [tex]2a^2+2ac+2c^2=a^2+ab+2b^2+bc+c^2=>(a+c)^2=b(a+c+2b) [/tex]
Заместваме с [tex](1)=>4b^2=b.4b[/tex]- вярно равенство=> тези числа обрасуват ар. пр.

[Нани]

Лелее ... много ти благодаря з абързия отговор и за задачите Мерси много!

[Нани]

[Добромир Глухаров]

[Нани]