Линейни преобразувания и техните матрици :?

[n0_m0r3_pa1n]

Здравейте отново!
Имам един проблем, свързан с това, че изпуснах лекциите един ден и сега се опитвам да наваксам самичък вкъщи, но нещо ми се вижда нанагорно. Всъщност имам една задача, която просто не знам от къде да я захвана. Пак е от една курсова работа, но аз не искам да ми помогнете за цялата задача, а просто за едното подусловие, защото изобщо не мога да схвана как да започна. Пък се надявам после да се сетя. Имаме, че f е преобразуване на R₃[x], определено чрез:
f(p(x)) = p(x+1) - p(x). p(x) принадлежи на R₃[x]
И трябва да се докаже, че f е линейно.
Това R₃[x] ще рече, че имаме такъв полином ли: a₀ +a₁x + а₂x² + a₃x³ ?
И ако имаме такъв полином, то каква е връзката между него и това f(p(x)) ? Четох, че за да е линейно трябва да изпълнява следните свойства: f(x+y) = f(x) + f(y) и f(λx) = λf(x)
или това: f(λ₁u₁ + λ₂u₂) = λ₁f(u₁) + λ₂f(u₂) ? Трябва ми просто някой да тегли едно рамо та и аз да хвана да мисля. Благодарен съм за всеки опит за помощ
П.С.
Май се сетих нещо, но не достатъчно. Щом p(x) принадлежи на R3[x] => p(x) = a₀ +a₁x + а₂x² + a₃x³, а за другото p(x+1) просто добавяме единица? А после?

[Реклама]

[d/dx]

Трябва да си вземеш два полинома и реално число и да провериш дали твоето преобразувание е адитивно и хомогенно, сиреч дали образ на сума е сума от образи и дали образ на произведение с число е числото по образа.
А между другото ако [tex]p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3,[/tex] то [tex]p(x+1)=a_0+a_1(x+1)+a_2(x+1)^2+a_3(x+1)^3[/tex]
и по определение [tex]f(p(x))=p(x+1)-p(x)=a_0+a_1(x+1)+a_2(x+1)^2+a_3(x+1)^3-(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3).[/tex]

[n0_m0r3_pa1n]

Олеле..разбрах те..бил съм в голяма грешка Благодаря много.И един последен въпрос. Сметнах какво се получава накрая като разлика. Сега трябва да си измисля едно число λ и да докажа, че като умножим с това число, ще се получи същия израз т.е. λf(p(x)) = f(λ(p(x)) ?

[_sssss]

Да, точно така. А после проверяваш и за сумата.

Двете може и да се обединят.
Взимаш си някакви p(x), g(x) и две числа.
[tex]\lambda p(x) + \mu g(x)=\lambda a_0 + \mu b_0 + x(\lambda a_1 + \mu b_1) + ...[/tex], което е друг полином, например [tex]h(x)[/tex].
Пресмяташ [tex]f[h(x)][/tex], групираш като се стремиш да получиш [tex]\lambda f[p(x)] + \mu f[g(x)][/tex].

[_sssss]

И аз видях зор, не за сефте, де.
Искаше се да се намери матрицата на f, спрямо каноничната база на [tex]\normal R_3[x][/tex], при което получих:
[tex]\( \begin{array} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \)[/tex]
Сега как да намеря по една база на imf, kerf?
За imf имам идея, някаква - да намеря база на [tex]3cx^2 + (3c + 2b)x + a + b + c[/tex].
rg(f) ще е съответно броя на тия базисни вектори.
Има ли нещо вярно?
И още един въпрос: В условието имаме [tex]f : R_3 [x] \to R_3 [x][/tex], а размерността на дясната страна е 3, т.е. е по-скоро [tex] f : R_3[x] \to R_2[x][/tex].

Пълна каша ми е в главата, ужас.

[_sssss]

Приемат се всякакви идеи.

PS. Мале, не видях че ми е трети пореден пост. Защо не мога да си го изтрия, пфффф!

[nikko1]

[_sssss]

Благодаря много, значи все пак съм била близо, май.
Това с умножението на матрицата по коеф. не го знаех, но написах, че kerf са полиномите от вида [tex]\normal a_0 + 0x + 0x^2 + 0x^3[/tex].
База на образа мисля... [tex]\normal 1, \; 2x+1, \; 3x^2 + 3x + 1[/tex]
Интересно, защо се получава така, че това са точно [tex]\normal f(x), \; f(x^2), \; f(x^3)[/tex]?