Полиноми

[ferry2]

1. При кои стойности на [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], [tex]f(x)=ax^4+bx^3+1[/tex] се дели на [tex]g(x)=(x-1)^2[/tex].

2. Намерете такьв полином [tex]f(x)[/tex] от 3-та степен, че полиномьт [tex]f(x)+1[/tex] да се дели на [tex](x-2)^2[/tex], a [tex]f(x)+2[/tex] да се дели на [tex](x-1)^2[/tex].

3. [tex]f(x)=x^4-ax^3-2x^2-3x+4[/tex] да се намери [tex]a=?[/tex] ако [tex]x_1.x_2=1[/tex]

Започвам да я пешавам с формули на Виет:

[tex]\begin{tabular}{|||||}x_1.x_2=1 \\ x_1+x_2+x_3+x_4=a \\ x_1.x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_4+x_3x_4=-2 \\ x_1x_2x_3+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4+x_2x_2x_4=3 \\ x_1x_2x_3x_4=4 \\\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{||||} x_1+x_2+x_3+x_4=a \\ x_1x_3+x_1x_4+x_2x_4+x_3x_4=-3 \\ x_3+x_4+_1x_3x_4+x_2x_3x_4=3 \\ x_3x_4=4 \\\end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|||} x_1+x_2+x_3+x_4=a \\ x_1(x_3+x_4)+x_2x_4=-7 \\ x_3+x_4+4x_1+4x_2=3 \\\end{tabular}[/tex]

И оттук вече не знам как да продьлжа.

[Реклама]

[asdf]

Относно тази, която си тръгнал да решаваш с Виет. Щом х1 и х2 са корени, то f(x) е разложимо във вида [tex]f(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})(kx^2+bx+c) \; ; k,b,c \in R[/tex]
Сега като разкриеш скобите получаваш [tex]f(x)=kx^4 + (-3-k(x_{1}+x_{2}))x^3+x^2(k+4+3(x_{1}+x_{2}))-3x+4[/tex] а от друга страна имаме:
[tex]f(x)=x^4-ax^3-2x^2-3x+4[/tex]
От тук веднага намираш k=1;b=-3;c=4;x1+x2=(-6-k)/3 = -7/3 и остава да си прираниш и коефициентите пред x^3 a= 3+(-7/3) = 2/3
Другите могат да се решат по същия начин

[ferry2]

Провах да ги реша, но не успях. Бихте ли ми дали някакви насоки?

[krainik]

За първата - от това, че се дели на [tex](x-1)^2[/tex] следва, че 1 е корен и на функцията и на нейната производна(,защото е двоен), т.е [tex]f(1)=0[/tex] и [tex]f'(1)=0[/tex]. Решаваш ги кат с-ма и намираш корените ; ] За втората пак можеш да подходиш по същия начин ;]

[kaia]

[_sssss]

Първите 2 излизат и с Хорнер, както krainik е казал - 1 трябва да е двоен корен.
f(1)=0
g(1)=0 - тук сме намерили новите коефициентите пред степените на x.

[r2d2]

Зад. 2
Понеже полиномът е от трета степен и [tex]f(x)+1[/tex]се дели на[tex] (x-2)^2[/tex] имаме [tex]f(x)+1=(x-2)^2(ax+b).[/tex].
По същия начин от другото условие получаваме [tex]f(x)+2=(x-1)^2(cx+d).[/tex].
Или трябва да е в сила тъждеството [tex](x-2)^2(ax+b)+1=(x-1)^2(cx+d)[/tex].

Като сравним коеф. пред третите степени имаме: [tex]a=c[/tex].
Kaто заместим с х=1 получаваме a+b+1=0.
с х=2 имаме 1=2c+d=2а+d.
x=0 намираме 4b+1=d.

Решението на тази система е a=c=-2;b=1;d=5;

Тогава [tex]f(x)=(x-1)^2(-2x+5)-2=-2x^3+9x^2-12x+3[/tex]

[ferry2]

Благодаря много !