2 задачи от миналогодишен приемен изпит в ТУ

[DarkAvenger]

Здравейте, реших алгебричните без проблем, но 2 на пръв поглед елементарни задачи ми взимат ъкъла...

1. Правоъгълник има лице 9см², а големината на тъпия ъгъл между диагоналите му е 150°. Всеки диагонал има дължина:

6, 8, 10, 11 или 12 см.

2. В квадрат АБЦД точка М е средата на БЦ. Диагоналът АЦ пресича ДМ в точка Н. Косинусът на [tex]\angle[/tex] МНЦ е равен на:

√2/2, 2/3, 1/3, √10/10, √15/15


Може ли някой да ми помогне с решенията?

[Реклама]

[ZERGO]

Решение на задача 1: Знаем, че в правоъгълника диагоналите са равни и се разполовяват. Пускаме двата диагонала [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex], [tex]AC[/tex] x [tex]BD[/tex] = [tex]O[/tex]. Сега разглеждаме [tex]\Delta ACD[/tex], като лицето му е половината от това на [tex]ABCD[/tex] - [tex]4,5cm^2[/tex]. Офф омръзна ми да се туткам с тоя LaTeX затова ще давам по-накратко: Значи разглеждаме сега триъгълниците АОD и DOC, като в тях DO = AO = CO = x. Лицата им пресмятаме по формулата [tex]\frac{absin\alpha}{2}[/tex].

И стигаме до уравнението [tex]4,5 = \frac{x.x.sin30}{2} + \frac{x.x.sin(90 + 60)}{2}[/tex]


[tex]4,5 = \frac{x^2.\frac{1}{2}}{2} + \frac{x^2.\frac{1}{2}}{2}[/tex]


[tex]4,5 = \frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4}[/tex]



[tex]x^2 = 9[/tex]

[tex]x = 3[/tex]




Значи получихме, че половината от диагонала е 3, следователно целият диагонал е 6

[ZERGO]

И на втората знам начина, ама ме мързи да пиша, затова ме намери в скайп. Дадох ти го на ЛС.