Уравнение с един радикал

[Spider Iovkov]

Да се реши ирационалното уравнение [tex]\sqrt{x+1}=\frac{x+6}{x-3}[/tex].

[Реклама]

[estoyanovvd]

Има стандартен начин - полагаш [tex]\sqrt{x+1}=y [/tex] и изразяваш хикса чрез игрека и т. н

[martosss]

и се получава...

[ганка симеонова]

Получава се "манджа с грозде"

[estoyanovvd]

Даааа. Прави сте.

[martosss]

Принципно ако трябва да си говорим за стандартен начин, то ще е да се реши уравнението t³-t²-4t-5=0, което не е чак толкова трудно

[ганка симеонова]

[Grievery]

Аз получих след преобразуване: [tex]x^{3}-6x^{2}-9x-27=0[/tex]. Някакви идеи?

[ганка симеонова]

[Spider Iovkov]

Имаме [tex]{\cyr D.O.} \frac{x+6}{x-3} \ge 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty;-6] \cup (3;+\infty)[/tex]. Както Grievery е казал, достигаме след кратки преобразувания до уравнението [tex]x^3-6x^2-9x-27=0 \, (*)[/tex]. Ако го запишем като [tex]ax^3+bx^2+cx+d=0[/tex] и положим [tex]a_{1}=\frac{b}{a}, \, y=x+\frac{a_{1}}{3}[/tex], получаваме [tex]a_{1}=-6[/tex] и [tex]y=x-2 \Leftrightarrow x=y+2[/tex]. Заместваме това в [tex](*)[/tex] и [tex]\Rightarrow (y+2)^3-6(y+2)^2-9(y+2)-27=0[/tex]. В действителност последното се свежда до [tex]y^3-21y-61=0[/tex] (забележете, че втората степен изчезна след полагането). Използвайки ужасния Кардано, намираме реалния корен – [tex]y_{0}=\sqrt[3]{\frac{61}{2}+\frac{9\sqrt{29}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{61}{2}-\frac{9\sqrt{29}}{2}}[/tex]. Тогава [tex]x_{0}=y_{0}+2 \Leftrightarrow x_{0}=\sqrt[3]{\frac{61}{2}+\frac{9\sqrt{29}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{61}{2}-\frac{9\sqrt{29}}{2}}+2[/tex].

[Grievery]

Само едно нещо: към Д.О. имаме още, че [tex]x+1\ge 0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x\ge -1[/tex]. Окончателно: [tex]\cyr{D.O.}[/tex] [tex]x\in (3;+\infty )[/tex]

[martosss]

[Grievery]

Хахахах. Сори. Веднага го оправям!

[ганка симеонова]

Добре бе, Люси, кое ти хареса на това у- е?
Нищо не му е интересно. Имаш тривиално кубично уравнение.

[martosss]

Никак не е тривиално даже! То има коефициенти -6, -9, -27!