Регистрирайте сеРегистрирайте се

Изследване на функции и приложения на производните


 
   Форум за математика Форуми -> Функции / Производни
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Fri Oct 23, 2009 6:09 pm    Заглавие: Изследване на функции и приложения на производните

ПЛАН ЗА ИЗСЛЕДВАНЕ НА ФУНКЦИЯТА [tex]f(x)[/tex]

1. Дефиниционна област
2. Четност и нечетност
3. Периодичност
4. Асимптоти (хоризонтална, вертикална, наклонена)
5. Растене и намаляване
6. Локален минимум и локален максимум. Най-голяма и най-малка стойност
7. Вдлъбнатост и изпъкналост
8. Пресечни точки с координатните оси
9. Картинка с графиката

Пример 1. Изследвайте функцията [tex]x^4-4x+3[/tex].

Дефиниционното множество е непрекъснато. Понеже [tex]f(x) \neq f(-x)[/tex] и [tex]f(-x) \neq -f(x)[/tex], то функцията не е нито четна, нито нечетна. Не е и периодична. Няма асимптоти. Ясно е, че [tex]f'(x)=4x^3-4[/tex]. За да определим интервалите на монотонност и екстремумите, ще работим единствено с първата производна. Ще използваме, че ако [tex]f'(x)>0[/tex] или [tex]f'(x)<0[/tex], то съответно [tex]f(x) \nearrow[/tex] или [tex]f(x) \searrow[/tex]. Тогава получаваме
[tex]\begin{array}{||} f'(x)>0 \\ f'(x)<0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} x^3-1>0 \\ x^3-1<0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}x>1 \Rightarrow f(x) \nearrow \\ x<1 \Rightarrow f(x) \searrow \end{array}[/tex].
Производната [tex]f'(x)[/tex] сменя знака си от [tex]-[/tex] в [tex]+[/tex] в точката [tex]x_{0}=1[/tex]. Тогава това е точка на локален минимум. Пресмятаме този минимум: [tex]f(x_{0})=f(1)=f_{\min}=0[/tex]. Понеже [tex]\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=\lim_{x \to \pm \infty}(x^4-4x+3)=+\infty[/tex], то [tex]f(x_{0})=f(1)[/tex] е и [tex]f_{\cyr nms}[/tex].
За да установим вдлъбнатостта и изпъкналостта на функцията, трябва да решим [tex]f''(x)>0[/tex] и [tex]f''(x)<0[/tex] −
[tex]\begin{array}{||} f''(x)>0 \\ f''(x)>0 \end{array} \Leftrightarrow 12x^2 \ge 0[/tex],
т. е. [tex]f(x)[/tex] е изпъкнала в цялата си дефиниционна област. Тук отчитаме, че при [tex]f''(x)>0[/tex] функцията е изпъкнала, а при [tex]f''(x)<0[/tex] − вдлъбната.
Да определим в кои точки графиката на [tex]f(x)[/tex] пресича осите [tex]Ox[/tex] и [tex]Oy[/tex]:
− с оста [tex]Ox \Leftrightarrow y=0 \Leftrightarrow x^4-4x+3=0 \Leftrightarrow (x-1)^2(x^2+2x+3) \Leftrightarrow x=1[/tex]; точката е [tex]M(1;0)[/tex];
− с оста [tex]Oy \Leftrightarrow x=0 \Leftrightarrow y=3[/tex]; точката е [tex]N(0;3)[/tex] (вж. картинка 1).

Пример 2. Изследвайте функцията [tex]f(x)=\frac{2x-1}{3x+1}[/tex].
Функцията е определена за всяко [tex]x[/tex], за което знаменателят приема различни от нула стойности, т. е. [tex]x \in (-\infty;-\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3};+\infty)[/tex]. И тук както в предната задача [tex]f(-x) \neq -f(x)[/tex] и [tex]f(x) \neq f(-x)[/tex] − функцията не е четна или нечетна, нито периодична. Но за разлика от предходния пример, има асимптоти. Асимптотата е права, която се приближава неограничено до графиката на дадена функция, но в действителност никога не я докосва. Различаваме хоризонтална, вертикална и наклонена асимптота:
хоризонтална асимптота − ако [tex]\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=a[/tex], то правата [tex]y_{0}=a[/tex] е хоризонтална асимптота;
вертикална асимптота − ако [tex]\lim_{x \to a}f(x)=\pm \infty[/tex], то правата [tex]x_{0}=a[/tex] е вертикална асимптота;
наклонена асимптота − ако [tex]\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=\pm \infty, \, \lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=a, \, \lim_{x \to \pm \infty}[f(x)-ax]=b[/tex], то правата [tex]y_{0}=ax+b[/tex] е наклонена асимптота.
За да проверим дали функцията [tex]f(x)=\frac{2x-1}{3x+1}[/tex] има хоризонтална асимптота, пресмятаме съответно [tex]\lim_{x \to -\infty}\frac{2x-1}{3x+1}[/tex] и [tex]\lim_{x \to +\infty}\frac{2x-1}{3x+1}[/tex]. Но [tex]\lim_{x \to -\infty}\frac{2x-1}{3x+1}=\lim_{x \to -\infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{3+\frac{1}{x}}=\frac{2}{3}[/tex] и [tex]\lim_{x \to +\infty}\frac{2x-1}{3x+1}=\lim_{x \to +\infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{3+\frac{1}{x}}=\frac{2}{3}[/tex] − или [tex]\lim_{x \to \pm \infty}\frac{2x-1}{3x+1}=\frac{2}{3}[/tex]. В такъв случай хоризонталната асимптота има уравнение [tex]y_{0}=\frac{2}{3}[/tex] (на картинка 2 това е маслинената линия).
Сега ще проверим дали има вертикална асимптота. За целта ще пресметнем лявата и дясната граница на [tex]f(x)[/tex] при [tex]x[/tex], клонящо към [tex]-\frac{1}{3}[/tex]. Имаме [tex]\lim_{{x \to -\frac{1}{3}} \\ x<-\frac{1}{3}}\frac{2x-1}{3x+1}=\frac{-\frac{5}{3}}{-0}=\frac{\frac{5}{3}}{0}=+\infty[/tex] и [tex]\lim_{x \to -\frac{1}{3} \\ x>-\frac{1}{3}}\frac{2x-1}{3x+1}=\frac{-\frac{5}{3}}{+0}=-\infty[/tex], т. е. [tex]x_{0}=-\frac{1}{3}[/tex] е уравнението на вертикалната асимптота.
Наклонени асимптоти функцията няма, защото [tex]\lim_{x \to \pm \infty}\frac{2x-1}{3x+1} \neq \pm \infty[/tex].
Определяме [tex]f'(x)=\frac{5}{(3x+1)^2}[/tex]. Виждаме, че [tex]f'(x)>0[/tex] за всяко [tex]x \neq -\frac{1}{3}[/tex]. Следователно [tex]f(x)[/tex] е растяща в цялата си дефиниционна област и няма екстремуми.
Сега намираме [tex]f''(x)=-\frac{30}{(3x+1)^3}[/tex]. Пак трябва да решим [tex]f''(x)>0[/tex] и [tex]f''(x)<0[/tex] −
[tex]\begin{array}{||} f''(x)>0 \\ f''(x)<0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} -30(3x+1)^3>0 \\ -30(3x+1)<0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} x \in (-\infty;-\frac{1}{3}) \\ x \in (-\frac{1}{3};+\infty) \end{array}[/tex].
Тогава при [tex]x \in (-\infty;-\frac{1}{3})[/tex] функцията е изпъкнала, а при [tex]x \in (-\frac{1}{3};+\infty)[/tex] − вдлъбната.
Според последната точка от плана (която не е задължителна) можем да определим в кои точки графиката пресича двете оси:
− пресича оста [tex]Ox \Leftrightarrow y=0 \Leftrightarrow \frac{2x-1}{3x+1}=0 \Rightarrow 2x-1=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}[/tex]; едната точка е [tex]K(\frac{1}{2};0)[/tex];
− с [tex]Oy \Leftrightarrow x=0 \Leftrightarrow y=-1[/tex]; втората точка е [tex]L(0;-1)[/tex].



Картинка 1.png
 Description:
 Големина на файла:  9.09 KB
 Видяна:  21529 пъти(s)

Картинка 1.png



Картинка 2.png
 Description:
 Големина на файла:  8.88 KB
 Видяна:  21529 пъти(s)

Картинка 2.png


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
d/dx
Начинаещ


Регистриран на: 26 Sep 2009
Мнения: 52

Репутация: -0.6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Fri Oct 23, 2009 6:26 pm    Заглавие:

Може ли някой да поясни, какво означава една функция да има асимптота? Имам предвид, каква информация ни дава наличието на асимптота за дадена функция? Въобще, защо като изследваме функции, проверяваме за наличието на асимптоти?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
d/dx
Начинаещ


Регистриран на: 26 Sep 2009
Мнения: 52

Репутация: -0.6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Oct 26, 2009 12:22 pm    Заглавие:

Хайде, де Smile Никой ли не си е задавал тези въпроси? Нали като правим нещо, полезно е да знаем защо го правим?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
stflyfisher
Напреднал


Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394

Репутация: 31.9Репутация: 31.9Репутация: 31.9
гласове: 10

МнениеПуснато на: Mon Oct 26, 2009 2:21 pm    Заглавие:

d/dx написа:
Може ли някой да поясни, какво означава една функция да има асимптота? Имам предвид, каква информация ни дава наличието на асимптота за дадена функция? Въобще, защо като изследваме функции, проверяваме за наличието на асимптоти?


Отговора го има тук и не е трудно сам да го намериш.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Функции / Производни Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.