Изследване на функции и приложения на производните

[Spider Iovkov]

ПЛАН ЗА ИЗСЛЕДВАНЕ НА ФУНКЦИЯТА [tex]f(x)[/tex]

1. Дефиниционна област
2. Четност и нечетност
3. Периодичност
4. Асимптоти (хоризонтална, вертикална, наклонена)
5. Растене и намаляване
6. Локален минимум и локален максимум. Най-голяма и най-малка стойност
7. Вдлъбнатост и изпъкналост
8. Пресечни точки с координатните оси
9. Картинка с графиката

Пример 1. Изследвайте функцията [tex]x^4-4x+3[/tex].

Дефиниционното множество е непрекъснато. Понеже [tex]f(x) \neq f(-x)[/tex] и [tex]f(-x) \neq -f(x)[/tex], то функцията не е нито четна, нито нечетна. Не е и периодична. Няма асимптоти. Ясно е, че [tex]f'(x)=4x^3-4[/tex]. За да определим интервалите на монотонност и екстремумите, ще работим единствено с първата производна. Ще използваме, че ако [tex]f'(x)>0[/tex] или [tex]f'(x)<0[/tex], то съответно [tex]f(x) \nearrow[/tex] или [tex]f(x) \searrow[/tex]. Тогава получаваме
[tex]\begin{array}{||} f'(x)>0 \\ f'(x)<0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} x^3-1>0 \\ x^3-1<0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}x>1 \Rightarrow f(x) \nearrow \\ x<1 \Rightarrow f(x) \searrow \end{array}[/tex].
Производната [tex]f'(x)[/tex] сменя знака си от [tex]-[/tex] в [tex]+[/tex] в точката [tex]x_{0}=1[/tex]. Тогава това е точка на локален минимум. Пресмятаме този минимум: [tex]f(x_{0})=f(1)=f_{\min}=0[/tex]. Понеже [tex]\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=\lim_{x \to \pm \infty}(x^4-4x+3)=+\infty[/tex], то [tex]f(x_{0})=f(1)[/tex] е и [tex]f_{\cyr nms}[/tex].
За да установим вдлъбнатостта и изпъкналостта на функцията, трябва да решим [tex]f''(x)>0[/tex] и [tex]f''(x)<0[/tex] −
[tex]\begin{array}{||} f''(x)>0 \\ f''(x)>0 \end{array} \Leftrightarrow 12x^2 \ge 0[/tex],
т. е. [tex]f(x)[/tex] е изпъкнала в цялата си дефиниционна област. Тук отчитаме, че при [tex]f''(x)>0[/tex] функцията е изпъкнала, а при [tex]f''(x)<0[/tex] − вдлъбната.
Да определим в кои точки графиката на [tex]f(x)[/tex] пресича осите [tex]Ox[/tex] и [tex]Oy[/tex]:
− с оста [tex]Ox \Leftrightarrow y=0 \Leftrightarrow x^4-4x+3=0 \Leftrightarrow (x-1)^2(x^2+2x+3) \Leftrightarrow x=1[/tex]; точката е [tex]M(1;0)[/tex];
− с оста [tex]Oy \Leftrightarrow x=0 \Leftrightarrow y=3[/tex]; точката е [tex]N(0;3)[/tex] (вж. картинка 1).

Пример 2. Изследвайте функцията [tex]f(x)=\frac{2x-1}{3x+1}[/tex].
Функцията е определена за всяко [tex]x[/tex], за което знаменателят приема различни от нула стойности, т. е. [tex]x \in (-\infty;-\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3};+\infty)[/tex]. И тук както в предната задача [tex]f(-x) \neq -f(x)[/tex] и [tex]f(x) \neq f(-x)[/tex] − функцията не е четна или нечетна, нито периодична. Но за разлика от предходния пример, има асимптоти. Асимптотата е права, която се приближава неограничено до графиката на дадена функция, но в действителност никога не я докосва. Различаваме хоризонтална, вертикална и наклонена асимптота:
− хоризонтална асимптота − ако [tex]\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=a[/tex], то правата [tex]y_{0}=a[/tex] е хоризонтална асимптота;
− вертикална асимптота − ако [tex]\lim_{x \to a}f(x)=\pm \infty[/tex], то правата [tex]x_{0}=a[/tex] е вертикална асимптота;
− наклонена асимптота − ако [tex]\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=\pm \infty, \, \lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=a, \, \lim_{x \to \pm \infty}[f(x)-ax]=b[/tex], то правата [tex]y_{0}=ax+b[/tex] е наклонена асимптота.
За да проверим дали функцията [tex]f(x)=\frac{2x-1}{3x+1}[/tex] има хоризонтална асимптота, пресмятаме съответно [tex]\lim_{x \to -\infty}\frac{2x-1}{3x+1}[/tex] и [tex]\lim_{x \to +\infty}\frac{2x-1}{3x+1}[/tex]. Но [tex]\lim_{x \to -\infty}\frac{2x-1}{3x+1}=\lim_{x \to -\infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{3+\frac{1}{x}}=\frac{2}{3}[/tex] и [tex]\lim_{x \to +\infty}\frac{2x-1}{3x+1}=\lim_{x \to +\infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{3+\frac{1}{x}}=\frac{2}{3}[/tex] − или [tex]\lim_{x \to \pm \infty}\frac{2x-1}{3x+1}=\frac{2}{3}[/tex]. В такъв случай хоризонталната асимптота има уравнение [tex]y_{0}=\frac{2}{3}[/tex] (на картинка 2 това е маслинената линия).
Сега ще проверим дали има вертикална асимптота. За целта ще пресметнем лявата и дясната граница на [tex]f(x)[/tex] при [tex]x[/tex], клонящо към [tex]-\frac{1}{3}[/tex]. Имаме [tex]\lim_{{x \to -\frac{1}{3}} \\ x<-\frac{1}{3}}\frac{2x-1}{3x+1}=\frac{-\frac{5}{3}}{-0}=\frac{\frac{5}{3}}{0}=+\infty[/tex] и [tex]\lim_{x \to -\frac{1}{3} \\ x>-\frac{1}{3}}\frac{2x-1}{3x+1}=\frac{-\frac{5}{3}}{+0}=-\infty[/tex], т. е. [tex]x_{0}=-\frac{1}{3}[/tex] е уравнението на вертикалната асимптота.
Наклонени асимптоти функцията няма, защото [tex]\lim_{x \to \pm \infty}\frac{2x-1}{3x+1} \neq \pm \infty[/tex].
Определяме [tex]f'(x)=\frac{5}{(3x+1)^2}[/tex]. Виждаме, че [tex]f'(x)>0[/tex] за всяко [tex]x \neq -\frac{1}{3}[/tex]. Следователно [tex]f(x)[/tex] е растяща в цялата си дефиниционна област и няма екстремуми.
Сега намираме [tex]f''(x)=-\frac{30}{(3x+1)^3}[/tex]. Пак трябва да решим [tex]f''(x)>0[/tex] и [tex]f''(x)<0[/tex] −
[tex]\begin{array}{||} f''(x)>0 \\ f''(x)<0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} -30(3x+1)^3>0 \\ -30(3x+1)<0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} x \in (-\infty;-\frac{1}{3}) \\ x \in (-\frac{1}{3};+\infty) \end{array}[/tex].
Тогава при [tex]x \in (-\infty;-\frac{1}{3})[/tex] функцията е изпъкнала, а при [tex]x \in (-\frac{1}{3};+\infty)[/tex] − вдлъбната.
Според последната точка от плана (която не е задължителна) можем да определим в кои точки графиката пресича двете оси:
− пресича оста [tex]Ox \Leftrightarrow y=0 \Leftrightarrow \frac{2x-1}{3x+1}=0 \Rightarrow 2x-1=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}[/tex]; едната точка е [tex]K(\frac{1}{2};0)[/tex];
− с [tex]Oy \Leftrightarrow x=0 \Leftrightarrow y=-1[/tex]; втората точка е [tex]L(0;-1)[/tex].

[Реклама]

[d/dx]

Може ли някой да поясни, какво означава една функция да има асимптота? Имам предвид, каква информация ни дава наличието на асимптота за дадена функция? Въобще, защо като изследваме функции, проверяваме за наличието на асимптоти?

[d/dx]

Хайде, де Никой ли не си е задавал тези въпроси? Нали като правим нещо, полезно е да знаем защо го правим?

[stflyfisher]