Нуждая се от помощ за производна

[hittman]

Моля някой да помогне с намирането на производната на функцията:
y= e^-x . sin(3x)

Имам едно решение, но за съжаление не го разбирам. Ако е правилно моля някой да обясни, ако ли не напишете моля направо вярното. Знам горе долуформулите за производни на функции, но има някаква система и по-сложните не ги схващам. Моля разяснете, а аз ще чета допълнително
Знам, че примерно
(e^x)' = e^x, но в случая минуса запазва ли се (явно Да)? Знам и че (sinx)' = cosx , формулата (u.v)' = u'v + uv' играе ли роля? Въобще развитието не ми е много ясно, как се прилагат отделните производни... Как се е стигнало до резултата долу

Ето го и решението:
e^-x . sin(3x)' = e^-x.(-1) . sin(3x)+ e^-x . (cos3x).3 !?!?

Наистина много Благодаря!

[Реклама]

[Grievery]

[tex]y=e^{-x}.sin(3x)[/tex]
Използваме, че: [tex](u.v)'=u'.v+u.v'[/tex]
[tex]y'=(e^{-x})'.sin(3x)+e^{-x}.\left(sin(3x)\right)'[/tex]
Двете функции [tex]e^{-x}[/tex] и [tex]sin(3x)[/tex] са сложни функции. Техните производни се намират по следния начин:
[tex](e^{-x})'=\left(-x\right)'.(e^{-x})'[/tex], т.е. производната на "вътрешната функция" по производната на цялата функция. Знаем, че [tex](-x)'=-1[/tex] а също така и че [tex](e^{x})'=e^{x}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex](e^{-x})'=e^{-x}[/tex]
Заместваме и получаваме, че: [tex](e^{-x})'=\left(-x\right)'.(e^{-x})'=-1.e^{-x}=-e^{-x}[/tex]
По същия начин процедираме и с функцията [tex]sin(3x)[/tex]. Тя също е сложна и за нея имаме: [tex]\left(sin(3x)\right)'=(3x)'.\left(sin(3x)\right)'[/tex] - отново производната на "вътрешната функция" по производната на цялата функция.
Знаем, че [tex](3x)'=3[/tex] и [tex]\left(sin(3x)\right)'=cos(3x)[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\left(sin(3x)\right)'=(3x)'.\left(sin(3x)\right)'=3.cos(3x)[/tex].
Сега остава да заместим в първоначалния израз:
[tex]y'=(e^{-x})'.sin(3x)+e^{-x}.\left(sin(3x)\right)'=-e^{-x}.sin(3x)+e^{-x}.3.cos(3x)=e^{-x}\left(3cos(3x)-sin(3x)\right)[/tex]
Ако има нещо неясно, питай!

[hittman]

Не, мисля че ми стана ясно , благодаря отново )