N се дели на 258, където n е естествено число

[sunnkata1]

Здравейте това ми е първата оценка по математика и то по ЗИП моля ви много ми е важно .Благодаря предварително.За утре е.
Задачата е:
Докажете, че числото:
а)N=6ⁿ+6ⁿ ๋๋¹+6ⁿ ๋๋๋² /се дели на 258, където n е естествено число
б)N=72ⁿ+3²ⁿ ๋๋¹.2³ⁿ ๋๋¹+8ⁿ ๋๋๋๋๋¹.9ⁿ /се дели на 15 където n е естествено число

Давам пример с в) (има я решена )
N=2ⁿ+3ⁿ ๋๋¹+2ⁿ ๋๋๋²+3ⁿ ๋๋³ /се дели на 10,където n е естествено число

Решение:
N=2ⁿ+3ⁿ ๋๋¹+2ⁿ ๋๋๋²+3ⁿ ๋๋³ =2ⁿ+2².2ⁿ+3ⁿ ๋๋¹+3².3ⁿ ๋๋¹=
=2ⁿ.(1+2²)+3ⁿ ๋๋¹.(1+3²)=5.2ⁿ+10.3ⁿ ๋๋¹ , откъдето се вижда, че N се дели на 10


Благодаря предварително

Само да кажа, че ๋๋๋ е +

[Реклама]

[Grievery]

а) [tex]N=6^{n}+6^{n+1}+6^{n+2}=6{n}+6.6^{n}+6^{2}.6^{n}=\left(1+6+36\right).6^{n}=43.6^{n}[/tex]
Имаме, че [tex]n[/tex] е естествено число [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]n\ge 1[/tex]. Иначе казано, изразът [tex]6^{n}[/tex] заема стойности [tex]6,6^{2},6^{3}...[/tex].
Получихме, че [tex]N=43.6^{n}[/tex]. Можем да преобразуваме [tex]6^{n}[/tex].
[tex]6^{n}=6^{n-1+1}=6.6^{n-1}[/tex]. Можем да сме сигурни, че [tex]6^{n-1}[/tex] е цяло число, тъй като за най малката стойност ([tex]n=1[/tex]) получаваме [tex]6^{n-1}=6^{1-1}=6^{0}=1[/tex]
Остана да заместим: [tex]N=43.6^{n}=43.6.6^{n-1}=258.6^{n-1}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]N[/tex] се дели на 258.

б) [tex]N=72^{n}+3^{2n+1}.2^{3n+1}+8^{n+1}.9^{n}[/tex]
Тук е добре да преобразуваме степените така, че да имат основи [tex]2[/tex] и [tex]3[/tex].
[tex]N=72^{n}+3^{2n+1}.2^{3n+1}+8^{n+1}.9^{n}=\left(8.9\right)^{n}+3.3^{2n}.2.2^{3n}+\left(2^{3}\right)^{n+1}.\left(3^{2}\right)^{n}=\left(2^{3}.3^{2}\right)^{n}+6.3^{2n}.2^{3n}+2^{3n+3}.3^{2n}=[/tex]
[tex]=2^{3n}.3^{2n}+6.2^{3n}.3^{2n}+2^{3}.2^{3n}.3^{2n}=2^{3n}.3^{2n}+6.2^{3n}.3^{2n}+8.2^{3n}.3^{2n}=\left(1+6+8\right).2^{3n}.3^{2n}=15.2^{3n}.3^{2n}[/tex] [tex] \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]N[/tex] се дели на 15.

[sunnkata1]

Мерсиии мноогооо