Малко помощ за производна

[Dark Angel]

Здравейте, моля ако може да ми ударите едно рамо за намиране на първа производна на една функция. Мъча я вече втори ден и я докарах до нещо фантастично. Днес ходих и до университета за съвет от асистента, но за зла беда попаднах на доцентката а тя не си пада много по обясненията. Тя ми каза да направя предварително логаритмуване. И все пак нещо не ми е ясно. Функцията е това:
γ=(tgx)^ctgx2 --> котангенс хикс е на втора степен.
За решаването на задачата аз изхождам от тук....
F|(x)=U(x)^Vx --> степен хикс
и ползвам следното правило....
F|(x)=U^v(u|/u*v+v|*lnu) --> U| и V| - производни.
Предварително благодаря на всички идеи за решаване на задачата.

[Реклама]

[Natali lubitel]

[tex] y = (tgx)^{cotg(x^2)} [/tex] Логаритмуваме двете страни при основа е - т.е. натурален логаритъм и в дясно прилагаме свойството за логаритмувани на степен. Получаваме [tex] lny = ctg(x^2)lntgx [/tex] . Сега диференцираме двете страни на полученото равенство по х и за двете страни използваме формулата за производна на сложна функция, като в дясно прилагаме и правилото за производна на произведение.
Получаваме
[tex] \frac{y'}{ y}=\frac{-2xlntgx}{ sin^2(x^2)}+\frac{ctg(x^2)}{sinx.cosx }[/tex]
[tex] y'=(tgx)^{cotg(x^2)} (\frac{-2xlntgx}{ sin^2(x^2)}+\frac{ctg(x^2)}{sinx.cosx })[/tex]
Използваме ,че [tex] y = (tgx)^{cotg(x^2)} [/tex] , също производната на tgx ,че e
[tex] \frac{1}{ cos^2x} [/tex] и [tex] ( ctg(x^2))'=\frac{-2x}{ sin^2(x^2)} [/tex]
[tex] (lntgx)'=\frac{1}{tgx.cos^2x } [/tex]

[Flame]

Незнам дали ни будалкаш, като разказваш университетски истории но:
[tex]f(x)=tg{x}^{cotg^2{x}}[/tex]
Понеже са те посъветвали нещо да логаритмуваш да пробваме и ние така:
[tex]f(x)=e^{ln tg{x}^{cotg^2{x}}}[/tex]
И така знаеш че:
[tex](e^x)'=e^x.x'[/tex] Ами ето:
[tex]f'(x)=e^{ln tg{x}^{cotg^2{x}}}. (ln{tg{x}^{cotg^2{x}}})' [/tex]
И веднага опростяваме първата част:
[tex]f'(x)=tg{x}^{cotg^2{x}}. (ln{tg{x}^{cotg^2{x}}})'[/tex]
[tex]f'(x)=tg{x}^{cotg^2{x}}. (cotg^2{x}.ln tg{x})'[/tex] Тази втората производна е [tex](u.v)'=u'.v+u.v'[/tex]
[tex]f'(x)=tg{x}^{cotg^2{x}}.( 2cotg{x}.(-\frac{1}{sin^2{x}}).ln{tg{x}}+ cotg^2{x}\frac{1}{ tg{x}} \frac{1}{cos^2{x} } )[/tex]
[tex]f'(x)=tg{x}^{cotg^2{x}}.(-\frac{2cotg{x}.ln{tg{x}}}{sin^2{x}}+\frac{cotg^2{x}}{ tg{x}.cos^2{x} } )[/tex]
Последните два реда съм сигурен, че ще ги разгадаеш, че дори и да продължиш опростяването.
И да не забравя много поздрави на доцентката, която не желае да обяснява.

пп. Ооо, много се радвам , че сме ти решили две различни задачи, избираш си едната и си готов.

[Dark Angel]

Благодаря за отговорите.
Наистина доста се обърках с тази задача. Учебника който си купих от университета не мога да го разбера каквото и да правя, та уча по учебника по "Висша математика" на Сугарев и Манолов от 1964. Всъщност днес и аз стигнах до този отговор на задачата, след като почетох малко по-задълбочено и в едно Методическо ръководство от 1977.
В крайна сметка схванах какво да направя. Предполагам, че това е било и основната идея на доцентката. Не да ползвам готова изведена формула а да се помъча малко и да разбера самата задача. А и честно казано не се оплаквам от обясненията, в крайна сметка за малкото време (задочно) с което разполага, явно все пак нещо ми е влезнало между ушите при положение, че от курсовото задание ме затрудниха 4 - 5 задачи. Предполагам, че основния ми проблем на този етап е, че все още съм решавал малко задачи с производни и ми е малко трудно да определям все още коя функция каква е.
Още веднъж благодаря за помощта.