Регистрирайте сеРегистрирайте се

Весела задачка


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Tue Oct 20, 2009 10:37 pm    Заглавие: Весела задачка

Триъгълника ABC (<ACB e тъп) е вписан в окръжност с център S. D е пресечната точка на отсечките CS и AB. Да се докаже, че ако: AC+BC=2CS, то радиусите на вписаните окръжности в триъгълниците ADC и BDC са равни.

Интересно ми е да видя решение на тази задача и дали някои знае къде се е появявала (състезания, списания, сайтове).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sat Oct 24, 2009 9:24 pm    Заглавие:

Smile Толкова ли е трудна или безинтересна ?!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Sat Oct 24, 2009 9:59 pm    Заглавие:

Сега ми "дойде" нещо. Embarassed

[tex]\small \angle ADC= \varphi[/tex]

[tex]\normal AC+BC=2R \Leftrightarrow 2R sin{\alpha} + 2R sin{\beta}=2R \Leftrightarrow sin{\beta}=1-sin{\alpha}[/tex]

(1) sinT за ▲ADC [tex]\normal \Rightarrow \frac{AC}{sin{\varphi}}=\frac{CD}{sin{\alpha}}[/tex]
(2) sinT за ▲BDC [tex]\normal \Rightarrow \frac{BC}{sin{(180 - \varphi})}=\frac{CD}{sin{\beta}}[/tex]

(1), (2) [tex]\to \normal AC sin{\alpha}=BC sin{\beta}[/tex]

[tex]\normal AC sin{\alpha}=BC(1 - sin{\alpha}) \Leftrightarrow sin{\alpha}(AC+BC)=BC \Leftrightarrow \frac{BC}{sin{\alpha}}=2R[/tex]
\\ натам не е вярно
[tex]\normal sin{\alpha}=sin{\beta}=\frac{1}{2} \; \(\alpha = \beta = \frac{\pi}{6}\)[/tex]

[tex]\normal \Rightarrow[/tex] ▲ABC е равнобедрен с ъгли 30°, 30°, 120° [tex]\normal \Rightarrow[/tex] ▲ADC е еднакъв с ▲BDC.


Последната промяна е направена от _sssss на Sun Oct 25, 2009 6:24 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sun Oct 25, 2009 12:00 am    Заглавие:

Имам въпрос:
Защо от [tex]BC=2R\sin{\alpha}[/tex] следва, че [tex]\sin\alpha=\sin\beta[/tex]?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sun Oct 25, 2009 2:11 pm    Заглавие:

[OLD]Намерих задачата на един математически форум и ми е интересно да видя решение - все не успявам да се концентрирам и да я реша - или е много странна, или твърдението е некоректно.[/OLD]

Ако [tex]\sin\alpha=1/3[/tex] и [tex]\sin\beta=2/3[/tex] твърдението на задачата е коректно. Това вероятно означава, че твърдението е коректно, а seppen греши т.е. не можем да докажем по дадените неща, че ъглите на триъгълника в градуси са 30, 30, 120.

Моята идея за решение е следната: означаваме: [tex]\sin\alpha = k[/tex] и [tex]\sin\beta = 1-k[/tex]. Израяваме радиусите на вписаните окръжности чрез радиуса на описаната около ABC окръжности и k. По този начин свеждаме задачата до доказване на просто тъждество. Ако някой има време и желание - би могъл да използва посочения подход.

[EDIT - NEW]Извинявам се за спама. Задачата става по споменатият от мен подход. Даже няма много писане. Надявам се да Ви е харесала.[/EDIT-NEW].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Oct 25, 2009 5:19 pm    Заглавие:

Аз я реших.. с тригонометрия Razz
[tex]\fbox{AC=2R\sin\alp}[/tex]
[tex]\fbox{BC=2R\sin\be}[/tex]
По условие a+b=2R => [tex]\red\fbox{\sin\alp +\sin\be =1}\;\;\;\;\;(1)[/tex]
[tex]\angle ASC=2\angle ABC=2\be ,\;\;\;\;\angle BSC=2\alp\Right[/tex]
[tex]\angle ACS=90^\circ -\be ,\;\;\;\; \angle BCS=90^\circ -\alp[/tex]
Синусова теорема за ▲ADC и ▲BDC:
[tex]\frac{AD}{\cos\be}=\frac{CD}{\sin\alp}[/tex]
[tex]\frac{BD}{\cos\alp}=\frac{CD}{\sin\be}[/tex]
=> [tex]CD=AD\frac{\sin\alp}{\cos\be}=BD\frac{\sin\be}{\cos\alp}[/tex]
От последното равенство имаме [tex]AD=BD\frac{\sin2\be}{\sin2\alp}[/tex]
Сега имаме [tex]AD+BD=AB=2R\sin(\alp +\be )\Right BD(1+\frac{\sin2\be}{\sin2\alp})=2R\sin(\alp +\be )\Right \fbox{BD=\frac{R\sin2\alp}{\cos(\alp-\be)}}[/tex]
=> [tex]\fbox{AD=\frac{R\sin2\be}{\cos(\alp-\be)}}[/tex]
Оттук [tex]AD\frac{\sin\alp}{\cos\be}=\fbox{CD=\frac{2R\sin\alp\sin\be}{\cos(\alp -\be )}}[/tex]
Сега имаме [tex]\frac{S_{ADC}}{S_{BDC}}=\frac{AD}{BD}\Right[/tex]
[tex]\frac{r_1}{r_2}=\frac{p_2\sin2\be}{p_1\sin2\alp}=\frac{\frac{\sin2\be}{\N 2}(BD+BC+CD)}{\frac{\sin2\alp}{\N 2}(AD+AC+CD)}=\frac{\sin2\be \left(\frac{R\sin2\alp}{\cos(\alp-\be)}+2R\sin\alp +\frac{2R\sin\alp\sin\be}{\cos(\alp -\be )}\right)}{\sin2\alp \left(\frac{R\sin2\be}{\cos(\alp-\be)}+2R\sin\be +\frac{2R\sin\alp\sin\be}{\cos(\alp -\be )}\right)}=\frac{\sin2\be (\overbrace{\sin2\alp}^{2\sin\alp\cos\alp}+2\sin\alp\cos(\alp -\be ) +2\sin\alp\sin\be )}{\sin2\alp (\underbrace{\sin2\be}_{2\sin\be\cos\be} +2\sin\be\cos(\alp -\be )+2\sin\alp\sin\be)}=[/tex]
[tex]=\frac{\sin2\be (2\sin\alp )\left(\cos\alp+\cos\alp\cos\be +\sin\alp\sin\be +\sin\be )\right)}{\sin2\alp (2\sin\be )\left(\cos\be +\cos\alp\cos\be +\sin\alp sin\be +\sin\alp\right)}=\frac{\cos\be\left(\cos\alp+\cos\alp\cos\be +\overbrace{\sin\be}^{1-\sin\alp\cyr{ ot }(1)}(1+\sin\alp )\right)}{\cos\alp\left(\cos\be +\cos\alp\cos\be +\underbrace{\sin\alp}_{1-sin\be\cyr{ ot }(1)}(1+ sin\be )\right)}=[/tex]
[tex]=\frac{\cos\be\left(\cos\alp +\cos\alp\cos\be +\overbrace{(1-sin^2\alp)}^{\cos^2\alp}\right)}{\cos\alp\left(\cos\be+\cos\alp\cos\be+\underbrace{(1-sin^2\be)}_{\cos^2\be}\right)}=\frac{\cos\be\cos\alp\left(1+\cos\be+\cos\alp\right)}{\cos\alp\cos\be\left(1+\cos\alp +\cos\be\right)}=1[/tex] => [tex]r_1=r_2[/tex] Smile

Сметките накрая обаче са доста и биха отказали повечето хора, но не и мен де Twisted Evil
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Sun Oct 25, 2009 6:27 pm    Заглавие:

Ами, объркала съм sinT. Помислила съм си, че BC=2Rsinb, а то не е! Така че се стига до никъде по моя начин.
Гениалността ми няма граници. Embarassed
Но задачата наистина е интересна. Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sun Oct 25, 2009 10:21 pm    Заглавие:

Браво и на двамата!

martosss - сериозен си - имаш опит в тригонометрията, но трябва и малко техника. Това с k-то го дадох неслучайно - задачата се структурира по-добре, по-малко писане е и по-лесно човек се досеща кое как да изрази. Хрумна ми, като заместих синусите с конкретни стойности, иначе и аз имах идеи, подобни на твоите, но ме домързя и не бях достатъчно концентриран.

seppen - няма проблем, не си единственият човек, който се обърка. Един приятел, много добър математик (всяка година решава задачите от IMO в определеното време за златен медал) се "подхлъзна" по-подобен начин. А твоята гениалност е налице - виждал съм други твои мнения и затова го твърдя. Целта на занятието е да се позабавляваме.

Ако искате мога да пускам чат-пат и други задачи ... аз имам стотици, коя от коя по-добри, неведнъж съм го казвал.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Oct 25, 2009 10:25 pm    Заглавие:

ами просто вече я бях решил и пишех решение когато вие писахте, затова не съм взел под внимание мнението ви Wink Иначе браво за вашия приятел, аз не съм такъв Laughing Но за сметка на това не се отказвам лесно Razz
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sun Oct 25, 2009 10:31 pm    Заглавие:

Като човек знае много е така - и той често бие врабчетата с топ, но иначе многократно е преоткривал задачи, давани на TST на отделни страни, а понякога и неизтеглени задачи от варианти за IMO. А аз, съм просто Боби и няма защо никой да ми говори на "Вие".
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.