Весела задачка

[ins-]

Триъгълника ABC (<ACB e тъп) е вписан в окръжност с център S. D е пресечната точка на отсечките CS и AB. Да се докаже, че ако: AC+BC=2CS, то радиусите на вписаните окръжности в триъгълниците ADC и BDC са равни.

Интересно ми е да видя решение на тази задача и дали някои знае къде се е появявала (състезания, списания, сайтове).

[Реклама]

[ins-]

Толкова ли е трудна или безинтересна ?!

[_sssss]

Сега ми "дойде" нещо.

[tex]\small \angle ADC= \varphi[/tex]

[tex]\normal AC+BC=2R \Leftrightarrow 2R sin{\alpha} + 2R sin{\beta}=2R \Leftrightarrow sin{\beta}=1-sin{\alpha}[/tex]

(1) sinT за ▲ADC [tex]\normal \Rightarrow \frac{AC}{sin{\varphi}}=\frac{CD}{sin{\alpha}}[/tex]
(2) sinT за ▲BDC [tex]\normal \Rightarrow \frac{BC}{sin{(180 - \varphi})}=\frac{CD}{sin{\beta}}[/tex]

(1), (2) [tex]\to \normal AC sin{\alpha}=BC sin{\beta}[/tex]

[tex]\normal AC sin{\alpha}=BC(1 - sin{\alpha}) \Leftrightarrow sin{\alpha}(AC+BC)=BC \Leftrightarrow \frac{BC}{sin{\alpha}}=2R[/tex]
\\ натам не е вярно
[tex]\normal sin{\alpha}=sin{\beta}=\frac{1}{2} \; \(\alpha = \beta = \frac{\pi}{6}\)[/tex]

[tex]\normal \Rightarrow[/tex] ▲ABC е равнобедрен с ъгли 30°, 30°, 120° [tex]\normal \Rightarrow[/tex] ▲ADC е еднакъв с ▲BDC.

[ins-]

Имам въпрос:
Защо от [tex]BC=2R\sin{\alpha}[/tex] следва, че [tex]\sin\alpha=\sin\beta[/tex]?

[ins-]

[OLD]Намерих задачата на един математически форум и ми е интересно да видя решение - все не успявам да се концентрирам и да я реша - или е много странна, или твърдението е некоректно.[/OLD]

Ако [tex]\sin\alpha=1/3[/tex] и [tex]\sin\beta=2/3[/tex] твърдението на задачата е коректно. Това вероятно означава, че твърдението е коректно, а seppen греши т.е. не можем да докажем по дадените неща, че ъглите на триъгълника в градуси са 30, 30, 120.

Моята идея за решение е следната: означаваме: [tex]\sin\alpha = k[/tex] и [tex]\sin\beta = 1-k[/tex]. Израяваме радиусите на вписаните окръжности чрез радиуса на описаната около ABC окръжности и k. По този начин свеждаме задачата до доказване на просто тъждество. Ако някой има време и желание - би могъл да използва посочения подход.

[EDIT - NEW]Извинявам се за спама. Задачата става по споменатият от мен подход. Даже няма много писане. Надявам се да Ви е харесала.[/EDIT-NEW].

[martosss]

Аз я реших.. с тригонометрия
[tex]\fbox{AC=2R\sin\alp}[/tex]
[tex]\fbox{BC=2R\sin\be}[/tex]
По условие a+b=2R => [tex]\red\fbox{\sin\alp +\sin\be =1}\;\;\;\;\;(1)[/tex]
[tex]\angle ASC=2\angle ABC=2\be ,\;\;\;\;\angle BSC=2\alp\Right[/tex]
[tex]\angle ACS=90^\circ -\be ,\;\;\;\; \angle BCS=90^\circ -\alp[/tex]
Синусова теорема за ▲ADC и ▲BDC:
[tex]\frac{AD}{\cos\be}=\frac{CD}{\sin\alp}[/tex]
[tex]\frac{BD}{\cos\alp}=\frac{CD}{\sin\be}[/tex]
=> [tex]CD=AD\frac{\sin\alp}{\cos\be}=BD\frac{\sin\be}{\cos\alp}[/tex]
От последното равенство имаме [tex]AD=BD\frac{\sin2\be}{\sin2\alp}[/tex]
Сега имаме [tex]AD+BD=AB=2R\sin(\alp +\be )\Right BD(1+\frac{\sin2\be}{\sin2\alp})=2R\sin(\alp +\be )\Right \fbox{BD=\frac{R\sin2\alp}{\cos(\alp-\be)}}[/tex]
=> [tex]\fbox{AD=\frac{R\sin2\be}{\cos(\alp-\be)}}[/tex]
Оттук [tex]AD\frac{\sin\alp}{\cos\be}=\fbox{CD=\frac{2R\sin\alp\sin\be}{\cos(\alp -\be )}}[/tex]
Сега имаме [tex]\frac{S_{ADC}}{S_{BDC}}=\frac{AD}{BD}\Right[/tex]
[tex]\frac{r_1}{r_2}=\frac{p_2\sin2\be}{p_1\sin2\alp}=\frac{\frac{\sin2\be}{\N 2}(BD+BC+CD)}{\frac{\sin2\alp}{\N 2}(AD+AC+CD)}=\frac{\sin2\be \left(\frac{R\sin2\alp}{\cos(\alp-\be)}+2R\sin\alp +\frac{2R\sin\alp\sin\be}{\cos(\alp -\be )}\right)}{\sin2\alp \left(\frac{R\sin2\be}{\cos(\alp-\be)}+2R\sin\be +\frac{2R\sin\alp\sin\be}{\cos(\alp -\be )}\right)}=\frac{\sin2\be (\overbrace{\sin2\alp}^{2\sin\alp\cos\alp}+2\sin\alp\cos(\alp -\be ) +2\sin\alp\sin\be )}{\sin2\alp (\underbrace{\sin2\be}_{2\sin\be\cos\be} +2\sin\be\cos(\alp -\be )+2\sin\alp\sin\be)}=[/tex]
[tex]=\frac{\sin2\be (2\sin\alp )\left(\cos\alp+\cos\alp\cos\be +\sin\alp\sin\be +\sin\be )\right)}{\sin2\alp (2\sin\be )\left(\cos\be +\cos\alp\cos\be +\sin\alp sin\be +\sin\alp\right)}=\frac{\cos\be\left(\cos\alp+\cos\alp\cos\be +\overbrace{\sin\be}^{1-\sin\alp\cyr{ ot }(1)}(1+\sin\alp )\right)}{\cos\alp\left(\cos\be +\cos\alp\cos\be +\underbrace{\sin\alp}_{1-sin\be\cyr{ ot }(1)}(1+ sin\be )\right)}=[/tex]
[tex]=\frac{\cos\be\left(\cos\alp +\cos\alp\cos\be +\overbrace{(1-sin^2\alp)}^{\cos^2\alp}\right)}{\cos\alp\left(\cos\be+\cos\alp\cos\be+\underbrace{(1-sin^2\be)}_{\cos^2\be}\right)}=\frac{\cos\be\cos\alp\left(1+\cos\be+\cos\alp\right)}{\cos\alp\cos\be\left(1+\cos\alp +\cos\be\right)}=1[/tex] => [tex]r_1=r_2[/tex]

Сметките накрая обаче са доста и биха отказали повечето хора, но не и мен де

[_sssss]

Ами, объркала съм sinT. Помислила съм си, че BC=2Rsinb, а то не е! Така че се стига до никъде по моя начин.
Гениалността ми няма граници.
Но задачата наистина е интересна.

[ins-]

Браво и на двамата!

martosss - сериозен си - имаш опит в тригонометрията, но трябва и малко техника. Това с k-то го дадох неслучайно - задачата се структурира по-добре, по-малко писане е и по-лесно човек се досеща кое как да изрази. Хрумна ми, като заместих синусите с конкретни стойности, иначе и аз имах идеи, подобни на твоите, но ме домързя и не бях достатъчно концентриран.

seppen - няма проблем, не си единственият човек, който се обърка. Един приятел, много добър математик (всяка година решава задачите от IMO в определеното време за златен медал) се "подхлъзна" по-подобен начин. А твоята гениалност е налице - виждал съм други твои мнения и затова го твърдя. Целта на занятието е да се позабавляваме.

Ако искате мога да пускам чат-пат и други задачи ... аз имам стотици, коя от коя по-добри, неведнъж съм го казвал.

[martosss]

ами просто вече я бях решил и пишех решение когато вие писахте, затова не съм взел под внимание мнението ви Иначе браво за вашия приятел, аз не съм такъв Но за сметка на това не се отказвам лесно

[ins-]

Като човек знае много е така - и той често бие врабчетата с топ, но иначе многократно е преоткривал задачи, давани на TST на отделни страни, а понякога и неизтеглени задачи от варианти за IMO. А аз, съм просто Боби и няма защо никой да ми говори на "Вие".