Геометрична прогресия

[ervin]

Да се намери стойността на реалния параметър а от системата

|x+y+z=a+4
|2x-y+2z=2a+2
|3x+2y-3z=1-2a,

ако се знае, че x,y,z в посочения ред образуват геометрична прогресия.
Отг. a₁=3 , a₂=-7,8

П.С. Никога не съм решавал система с 3 неизвестни. Сатова моля да напишете решението на задачата за да видя как се действа в подебен случай .
Благодаря.

[Реклама]

[Grievery]

Реално в дадената система имаме четири неизвестни: [tex]a,x,y,z[/tex]. За да ги направим три, използваме формулата за общия член на геометрична прогресия. Така получаваме, че: [tex]y=x.q[/tex] и [tex]z=x.q^{2}[/tex], където [tex]q[/tex] е частното на ГП. Решаването на система с три неизвестни се извършва по същия начин, както и при система с две. Важното е, че за да намерим търсените стойности, вече ни трябват не две, а три уравнения, както е в случая.

[tex]\begin{tabular}{|l}x+y+z+=a+4\\2x-y+2z=2a+2\\3x+2y-3z=1-2a \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}x+x.q+x.q^{2}=a+4/.(-2)\\2x-x.q+2x.q^{2}=2a+2\\3x+2x.q-3x.q^{2}=1-2a \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow [/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}-2x+-2x.q-2x.q^{2}=-2a-8\\2x-x.q+2x.q^{2}=2a+2\\3x+2x.q-3x.q^{2}=1-2a \end{tabular}[/tex]
Събираме почленно първите две уравнения и получаваме:
[tex]\begin{tabular}{|l}\cancel{-2x}-2x.q-\cancel{2x.q^{2}}+\cancel{2x}-x.q+\cancel{2x.q^{2}}=-\cancel{2a}-8+\cancel{2a}+2\\2x-x.q+2x.q^{2}=2a+2\\3x+2x.q-3x.q^{2}=1-2a \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow [/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}-3x.q=-6/:3\\2x-x.q+2x.q^{2}=2a+2\\3x+2x.q-3x.q^{2}=1-2a \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}x.q=2\\2x-x.q+2x.q^{2}=2a+2\\3x+2x.q-3x.q^{2}=1-2a \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}x=\frac{2}{q } \\2.\frac{2}{q } -\frac{2}{\cancel{q} } .\cancel{q}+2.\frac{2}{\cancel{q} } .q^{\cancel{2}}=2a+2\\3.\frac{2}{q } +2.\frac{2}{\cancel{q} } .\cancel{q}-3.\frac{2}{\cancel{q} } .q^{\cancel{2}}=1-2a \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}x=\frac{2}{q } \\\frac{4}{q } -2+4q=2a+2/.q\\\frac{6}{q }+4-6q=1-2a/.q \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\begin{tabular}{|l}x=\frac{2}{q } \\4 -2q+4q^{2}=2aq+2q\\6+4q-6q^{2}=q-2aq \end{tabular}[/tex]
Събираме почленно второто и третото уравнение:
[tex]\begin{tabular}{|l}x=\frac{2}{q } \\4 -\cancel{2q}+4q^{2}+6+\cancel{4q}-6q^{2}=\cancel{2aq}+\cancel{2q}+q-\cancel{2aq}\\6+3q-6q^{2}=-2aq \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}x=\frac{2}{q } \\2q^{2}+q-10=0\\6+3q-6q^{2}=-2aq \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}x=\frac{2}{q } \\q=2\cup q=-\frac{5}{2 } \\6+3q-6q^{2}=-2aq \end{tabular}[/tex]
Изваждаме от системата само третото уравнение, тъй като само то съдържа търсеното число [tex]a[/tex].
[tex]6+3q-6q^{2}=-2aq[/tex]
[tex]6+3.2-6.2^{2}=-2a.2[/tex] [tex]\cup [/tex] [tex]6+3.\left(-\frac{5}{2 } \right)-6.\left(-\frac{5}{2 } \right)^{2}=-2a.\left(-\frac{5}{2 } \right)[/tex]
[tex]12-24=-4a[/tex] [tex]\cup [/tex] [tex]6-\frac{15}{2 } -\cancel{6}.\frac{25}{\cancel{4} }=\cancel{2}a.\frac{5}{\cancel{2} }[/tex]
[tex]a=3[/tex] [tex]\cup [/tex] [tex]-\frac{78}{2 } =5a[/tex]
[tex]a_{1}=3[/tex], [tex]a_{2}=-7,8[/tex]

[ervin]

Благодаря ти много Grievery. От добрите ти обяснения започнах да се справям и с други подобни задачи. Благодаря.