Формула

[krainik]

Как точно се изразява [tex]a^n+b^n+c^n(n\in\mathbb{N})[/tex] като функция на трите елементарни симетрични полиноми ?

[Реклама]

[ганка симеонова]

Ако означим
[tex]a+b+c=\delta _1; ab+bc+ac=\delta _2; abc=\delta _3=>[/tex]

[tex]a^k+b^k+c^k=S_k=\delta _1S_{k-1}-\delta_2S_{k-2}+\delta _3S_{k-3} [/tex]

[ганка симеонова]

Ето и формула за n променливи

[tex]a^k+b^k+c^k=S_k=\delta _1S_{k-1}-\delta_2S_{k-2}+\delta _3S_{k-3}-....+(-1)^{k-1}k\delta_k [/tex]

В тази формула събираемите [tex](-1)^{i-1}\delta_i S_{k-i}[/tex], за които [tex]i>n[/tex] се считат за 0.

[krainik]

Ще се изразя по-точно - ако може [tex]a^n+b^n+c^n[/tex] да се изрази като функция на елем. симетрични полиноми И [tex]n[/tex], т.е не ми трябва рекурсивната формула. Предполагам, че е нещо лесно, което се доказва по индукция, но напоследък нямам много време и ще го чакам наготово.

[ганка симеонова]

Крайник, да се надяваме, че съм те разбрала. Не искаш рекурсия. Но, изразяването пак е сложно.

[tex]\frac{1}{k }S_k= \sum(-1)^{k-\lambda_1-\lambda_2-...-\lambda _k}.\frac{(\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_k-1)! }{\lambda_1!\lambda_2!...\lambda _k! } .\delta _1^{\lambda_1}.....\delta_k^{\lambda _k} [/tex],

където [tex]\lambda_1+2\lambda _2+3\lambda_3+...+k\lambda _k=k[/tex]

[tex]\lambda _i\ge 0[/tex]

[ганка симеонова]

Пример:

[tex]S_1=\delta _1[/tex]
[tex]S_2=\delta _1^2-2\delta _2[/tex]
[tex]S_3=\delta _1^3-3\delta _1\delta _2+3\delta _3[/tex]
[tex]S_4=\delta _1^4-4\delta _1^2\delta _2+2\delta _2^2+4\delta _1\delta _3[/tex]