Регистрирайте сеРегистрирайте се

Числови редици


 
   Форум за математика Форуми -> Прогресии - аритметична и геометрична прогресия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Aiezsedai
Начинаещ


Регистриран на: 10 Dec 2008
Мнения: 18

Репутация: 3.8Репутация: 3.8Репутация: 3.8

МнениеПуснато на: Mon Oct 19, 2009 9:16 pm    Заглавие: Числови редици

Здравейте,
Имам редиците:
an=(3n+2)/(2n-1), както и an=(3n+2)/(1-2n)
Трябва да определя дали редиците са монотонни или не. Ясен ми е методът a(n+1)-an
и a(n+1)/an, но при тези примери получавам неща, с които не мога да преценя дали е нарастваща или намаляваща редицата. За първия получавам (6n2+7n-5)/(6n2+7n+2), за втория получавам абсолютно същото. Какво да правя от тук нататък и бъркам ли някъде?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
stflyfisher
Напреднал


Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394

Репутация: 31.9Репутация: 31.9Репутация: 31.9
гласове: 10

МнениеПуснато на: Tue Oct 20, 2009 3:43 pm    Заглавие: Re: Числови редици

Aiezsedai написа:
Здравейте,
Имам редиците:
an=(3n+2)/(2n-1), както и an=(3n+2)/(1-2n)
Трябва да определя дали редиците са монотонни или не. Ясен ми е методът a(n+1)-an
и a(n+1)/an, но при тези примери получавам неща, с които не мога да преценя дали е нарастваща или намаляваща редицата. За първия получавам (6n2+7n-5)/(6n2+7n+2), за втория получавам абсолютно същото. Какво да правя от тук нататък и бъркам ли някъде?


[tex]1) a_n=\frac{3n+2}{2n-1} => a_{n+1}=\frac{3(n+1)+2}{2(n+1)-1}= \frac{3n+5}{2n+1}[/tex]

[tex] a_{n+1}-a_n=\frac{3n+5}{2n+1}-\frac{3n+2}{2n-1}=\frac{(3n+5)(2n-1)-(3n+2)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}=\frac{6n^2-3n+10n-5-6n^2-3n-4n-2}{4n^2-1}=\frac{-7}{4n^2-1}[/tex],

[tex] n\in N=>n\ge 1=>n^2\ge1=>4n^2\ge4=>4n^2-1\ge4-1=3>0 =>4n^2-1>0, -7<0=>\frac{-7}{4n^2-1}<0[/tex]

[tex]a_{n+1}-a_n=\frac{-7}{4n^2-1}<0=>a_{n+1}<a_n=>a_n=\frac{3n+2}{2n-1}[/tex]е намаляваща редица => е монотонна редица

Другата задача аналогично.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
stflyfisher
Напреднал


Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394

Репутация: 31.9Репутация: 31.9Репутация: 31.9
гласове: 10

МнениеПуснато на: Wed Oct 21, 2009 7:55 am    Заглавие:

[tex]1) a_n=\frac{3n+2}{2n-1},a_{n+1}=\frac{3n+5}{2n+1}[/tex]

[tex] \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{3n+5}{2n+1}}{\frac{3n+2}{2n-1}}=\frac{6n^2+7n-5}{6n^2+7n+2}[/tex]

І начин: От вярното числово неравенство:[tex]-5<2=>7n-5<7n+2, (n \in N=>n>0=>7n>0)=>6n^2+7n-5<6n^2+7n+2, (n \in N=>n>0=>n^2>0=>6n^2>0)[/tex], но [tex]\forall n \in N, 6n^2+7n+2>0[/tex] (Защо ли? Wink )Което е много важно Exclamation

[tex]6n^2+7n-5<6n^2+7n+2 | :6n^2+7n+2>0, \forall n\in N=>[/tex]

[tex]\frac{6n^2+7n-5}{6n^2+7n+2}<\frac{6n^2+7n+2}{6n^2+7n+2}[/tex]

[tex]\frac{6n^2+7n-5}{6n^2+7n+2}<1[/tex] t.e.

[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}<1, \forall n \in N=>a_{n+1}<a_n, (a_n>0, \forall n \in N )=>[/tex]

[tex]a_n=\frac{3n+2}{2n-1}[/tex] е намаляваща редица => е монотонна редица
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
stflyfisher
Напреднал


Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394

Репутация: 31.9Репутация: 31.9Репутация: 31.9
гласове: 10

МнениеПуснато на: Wed Oct 21, 2009 8:26 am    Заглавие:

[tex]1) a_n=\frac{3n+2}{2n-1},a_{n+1}=\frac{3n+5}{2n+1}[/tex]

[tex] \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{3n+5}{2n+1}}{\frac{3n+2}{2n-1}}=\frac{6n^2+7n-5}{6n^2+7n+2}[/tex]

ІІ начин:[tex] \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{6n^2+7n-5}{6n^2+7n+2}=\frac{6n^2+7n+2-2-5}{6n^2+7n+2}=\frac{6n^2+7n+2-7}{6n^2+7n+2}=\frac{6n^2+7n+2}{6n^2+7n+2}-\frac{7}{6n^2+7n+2}=1-\frac{7}{6n^2+7n+2}[/tex]

Разглеждаме кв. функция: [tex] y=f(x)=6x^2+7x+2[/tex]

[tex] a=6>0=>[/tex] праболата е "отворена нагоре";

[tex] 6x^2+7x+2=0 => x_1=-\frac{8}{12}=-\frac{2}{3}, x_2=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}[/tex];

[tex]=> \forall x \in (-\frac{1}{2},+\infty ) t.e \forall x>-\frac{1}{2}=> 6x^2+7x+2>0[/tex]

[tex] n \in N =>n>0>-\frac{1}{2}=> 6n^2+7n+2>0[/tex] (това може да се докаже и без да се разглежда кв. функция и е по-лесно според мен, тръгвайки че [tex] n \in N[/tex] Wink )[tex]=>[/tex]

[tex] \frac{1}{6n^2+7n+2}>0=>[/tex]

[tex] -\frac{1}{6n^2+7n+2}<0=>[/tex]

[tex] -\frac{7}{6n^2+7n+2}<0=>[/tex]

[tex] 1-\frac{7}{6n^2+7n+2}<1=>\frac{a_{n+1}}{a_n}<1=>a_{n+1}<{a_n}(a_n>0, \forall n \in N)=> a_n=\frac{3n+2}{2n-1}[/tex] е намаляваща редица => е монотонна редица
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Прогресии - аритметична и геометрична прогресия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.