Числови редици

[Aiezsedai]

Здравейте,
Имам редиците:
an=(3n+2)/(2n-1), както и an=(3n+2)/(1-2n)
Трябва да определя дали редиците са монотонни или не. Ясен ми е методът a(n+1)-an
и a(n+1)/an, но при тези примери получавам неща, с които не мога да преценя дали е нарастваща или намаляваща редицата. За първия получавам (6n²+7n-5)/(6n²+7n+2), за втория получавам абсолютно същото. Какво да правя от тук нататък и бъркам ли някъде?

[Реклама]

[stflyfisher]

[stflyfisher]

[tex]1) a_n=\frac{3n+2}{2n-1},a_{n+1}=\frac{3n+5}{2n+1}[/tex]

[tex] \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{3n+5}{2n+1}}{\frac{3n+2}{2n-1}}=\frac{6n^2+7n-5}{6n^2+7n+2}[/tex]

І начин: От вярното числово неравенство:[tex]-5<2=>7n-5<7n+2, (n \in N=>n>0=>7n>0)=>6n^2+7n-5<6n^2+7n+2, (n \in N=>n>0=>n^2>0=>6n^2>0)[/tex], но [tex]\forall n \in N, 6n^2+7n+2>0[/tex] (Защо ли? )Което е много важно

[tex]6n^2+7n-5<6n^2+7n+2 | :6n^2+7n+2>0, \forall n\in N=>[/tex]

[tex]\frac{6n^2+7n-5}{6n^2+7n+2}<\frac{6n^2+7n+2}{6n^2+7n+2}[/tex]

[tex]\frac{6n^2+7n-5}{6n^2+7n+2}<1[/tex] t.e.

[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}<1, \forall n \in N=>a_{n+1}<a_n, (a_n>0, \forall n \in N )=>[/tex]

[tex]a_n=\frac{3n+2}{2n-1}[/tex] е намаляваща редица => е монотонна редица

[stflyfisher]

[tex]1) a_n=\frac{3n+2}{2n-1},a_{n+1}=\frac{3n+5}{2n+1}[/tex]

[tex] \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{3n+5}{2n+1}}{\frac{3n+2}{2n-1}}=\frac{6n^2+7n-5}{6n^2+7n+2}[/tex]

ІІ начин:[tex] \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{6n^2+7n-5}{6n^2+7n+2}=\frac{6n^2+7n+2-2-5}{6n^2+7n+2}=\frac{6n^2+7n+2-7}{6n^2+7n+2}=\frac{6n^2+7n+2}{6n^2+7n+2}-\frac{7}{6n^2+7n+2}=1-\frac{7}{6n^2+7n+2}[/tex]

Разглеждаме кв. функция: [tex] y=f(x)=6x^2+7x+2[/tex]

[tex] a=6>0=>[/tex] праболата е "отворена нагоре";

[tex] 6x^2+7x+2=0 => x_1=-\frac{8}{12}=-\frac{2}{3}, x_2=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}[/tex];

[tex]=> \forall x \in (-\frac{1}{2},+\infty ) t.e \forall x>-\frac{1}{2}=> 6x^2+7x+2>0[/tex]

[tex] n \in N =>n>0>-\frac{1}{2}=> 6n^2+7n+2>0[/tex] (това може да се докаже и без да се разглежда кв. функция и е по-лесно според мен, тръгвайки че [tex] n \in N[/tex] )[tex]=>[/tex]

[tex] \frac{1}{6n^2+7n+2}>0=>[/tex]

[tex] -\frac{1}{6n^2+7n+2}<0=>[/tex]

[tex] -\frac{7}{6n^2+7n+2}<0=>[/tex]

[tex] 1-\frac{7}{6n^2+7n+2}<1=>\frac{a_{n+1}}{a_n}<1=>a_{n+1}<{a_n}(a_n>0, \forall n \in N)=> a_n=\frac{3n+2}{2n-1}[/tex] е намаляваща редица => е монотонна редица