Неравенство

[stflyfisher]

Да се реши неравенството:

[tex]\frac{6}{2x+1}>\frac{1+log_2(2+x)}{x}[/tex]

[Реклама]

[martosss]

Като за начало можеш да разгледаш знаците на двата знаменателя и числителя в дясно и да заключиш, чe при [tex]x\in \left(-\frac{1}{2}\: ;\: 0\right)[/tex] е изпълнено за всяко х, а при [tex]x\in \left(-\infty\: ;\: \frac{-3}{2}\right][/tex] Не е изпълнено за реални х(за комплексни вече не знам).
Остава да разгледаш x (-3/2 ; -½ ) и x>0, които наистина ще трябва да ги гледаш доста

[stflyfisher]

[naitsirk]

Ще продължа разсъжденията на мартос.
Нека [tex]x\in (-\frac{3}{2 };-\frac{1}{2 } )[/tex]. Тъй като [tex]x[/tex] е отрицателно неравенството добива вида: [tex]\frac{6x}{2x+1 }<1+log_{2}(2+x) [/tex]. Сега лесно се доказва, че за [tex]x<-\frac{1}{2 } [/tex], [tex]\frac{6x}{2x+1 }>3 [/tex]. Тъй като логаритмичната функция е с онова >1 тя е растяща и имаме, че за [tex]x\in (-\frac{3}{2 };-\frac{1}{ 2} )[/tex], [tex]1+log_{2}(2+x)<1+log_{2}(2-\frac{1}{2 } )<3[/tex].
Т.е. получихме, че [tex]1+log_{2}(2+x)<3<\frac{6x}{2x+1 }[/tex] => в този интервал неравенството не е изпълнено.
Окончателният отговор трябва да е [tex]x\in (-\frac{1}{2 };0 )[/tex]

[martosss]

Да, наистина, сега като се загледах реших и случая х>0 :

[tex]\frac{6x}{2x+1}>1+\log_2 (2+x)[/tex]
[tex]2-\frac{3}{2x+1}>\log_2 (2+x)[/tex]
[tex]2^{2-\frac{3}{2x+1}}>2+x[/tex]
При x>0 => 2x+1>1 => [tex]2-\frac{3}{2x+1}<-1[/tex] => лявата страна е по-малка от 1/2. Дясната страна пък е по-голяма от 2, откъдето неравенството не е изпълнено. С това получаваме отговора на naitsirk.