Регистрирайте сеРегистрирайте се

Аритметична и геометрична прогресия


 
   Форум за математика Форуми -> Прогресии - аритметична и геометрична прогресия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ub40
Начинаещ


Регистриран на: 30 Apr 2009
Мнения: 22

Репутация: 2.2Репутация: 2.2

МнениеПуснато на: Sun Oct 18, 2009 10:35 pm    Заглавие: Аритметична и геометрична прогресия

Сборът на първите 10 члена на една аритметична прогресия е 155, а сборът от първите два члена на геометрична прогресия е 9. Първият член и разликата на аритметичната прогресиа са равни съответно на частното и първият член на геометричната прогресия. Намерете двете прогресии
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Grievery
Редовен


Регистриран на: 24 Jun 2009
Мнения: 197

Репутация: 13
гласове: 6

МнениеПуснато на: Tue Oct 20, 2009 5:53 pm    Заглавие:

Ще приема, че аритметичната прогресия е: [tex]a_{1},a_{2},a_{3}...a_{10}[/tex], а геометричната - [tex]b_{1},b_{2}[/tex]. Разликата на АП е [tex]d[/tex], а частното на ГП е [tex]q[/tex]. Имаме, че [tex]S_{10}=155[/tex] и [tex]S'_{2}=9[/tex], както и че [tex]a_{1}=q[/tex] и [tex]d=b_{1}[/tex].
Съставяме система и прилагаме формулите за сбор на елементите на АП и ГП:
[tex]\begin{tabular}{|l}S_{10}=155\\S'_{2}=9\\a_{1}=q\\d=b_{1} \end{tabular} [/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}\frac{2a_{1}+9d}{\cancel{2} }.\cancel{10}=155/:5\\b_{1}.\frac{\cancel{q^{2}-1}}{\cancel{q-1} } =9\\a_{1}=q\\d=b_{1} \end{tabular} [/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}2q+9d=31\\b_{1}\left(q+1\right)=9\\a_{1}=q\\d=b_{1} \end{tabular} [/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}2q+9b_{1}=31\\b_{1}\left(q+1\right)=9\\a_{1}=q\\d=b_{1} \end{tabular}[/tex]
За улеснение ще оставя само първите две уравнения - получавам система от две уравнения с две неизвестни.
[tex]\begin{tabular}{|l}2q+9b_{1}=31\\b_{1}\left(q+1\right)=9 \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}q=\frac{31-9b_{1}}{2 } \\b_{1}\underbrace{\left(\frac{31-9b_{1}}{2 }+1\right)}_{2}=9 \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}q=\frac{31-9b_{1}}{2 }\\b_{1}.\frac{33-9b_{1}}{2 } =9/:3 \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}q=\frac{31-9b_{1}}{2 }\\11b_{1}-3b_{1}^{2}=3.2\end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}q=\frac{31-9b_{1}}{2 }\\3b_{1}^{2}-11b_{1}+6=0\end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}q=\frac{31-9b_{1}}{2 }\\b_{1}=3 \cup b_{1}=\frac{2}{3 } \end{tabular}[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}q=2=a_{1}\cup q=\frac{25}{2 }=a_{1} \\b_{1}=3 =d\cup b_{1}=\frac{2}{3 }=d \end{tabular}[/tex]
Оказва се, че задачата има две решения:

1) [tex]a_{1}=q=2[/tex], [tex]b_{1}=d=3[/tex]
Аритметичната прогресия е:

[tex]a_{1}=2[/tex]
[tex]a_{2}=a_{1}+d=2+3=5[/tex]
[tex]a_{3}=a_{1}+2d=2+2.3=8[/tex]
[tex]a_{4}=a_{1}+3d=2+3.3=11[/tex]
[tex]a_{5}=a_{1}+4d=2+4.3=14[/tex]
[tex]a_{6}=a_{1}+5d=2+5.3=17[/tex]
[tex]a_{7}=a_{1}+6d=2+6.3=20[/tex]
[tex]a_{8}=a_{1}+7d=2+7.3=23[/tex]
[tex]a_{9}=a_{1}+8d=2+8.3=26[/tex]
[tex]a_{10}=a_{1}+9d=2+9.3=29[/tex]

Проверяваме сбора:
[tex]S_{10}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}[/tex]
[tex]S_{10}=2+5+8+11+14+17+20+23+26+29=155[/tex]

Геометричната прогресия е:

[tex]b_{1}=3[/tex]
[tex]b_{2}=b_{1}.q=3.2=6[/tex]

Проверяваме сбора:
[tex]S'_{2}=b_{1}+b_{2}=3+6=9[/tex]

2) [tex]a_{1}=q=\frac{25}{2 } [/tex], [tex]b_{1}=d=\frac{2}{3 } [/tex]
Аритметичната прогресия е:

[tex]a_{1}=\frac{25}{2 }[/tex], [tex]a_{2}=a_{1}+d=\frac{25}{2 }+\frac{2}{3 }=\frac{79}{6 } [/tex],

[tex]a_{3}=a_{1}+2d=\frac{25}{2 }+2.\frac{2}{3 }=\frac{83}{6 }[/tex], [tex]a_{4}=a_{1}+3d=\frac{25}{2 }+\cancel{3}.\frac{2}{\cancel{3} }=\frac{29}{2 } [/tex],

[tex]a_{5}=a_{1}+4d=\frac{25}{2 }+4.\frac{2}{3 }=\frac{91}{6 }[/tex], [tex]a_{6}=a_{1}+5d=\frac{25}{2 }+5.\frac{2}{3 }=\frac{95}{6 }[/tex],

[tex]a_{7}=a_{1}+6d=\frac{25}{2 }+\cancel{6}.\frac{2}{\cancel{3} }=\frac{33}{2 }[/tex], [tex]a_{8}=a_{1}+7d=\frac{25}{2 }+7.\frac{2}{3 }=\frac{103}{6 }[/tex],

[tex]a_{9}=a_{1}+8d=\frac{25}{2 }+8.\frac{2}{3 }=\frac{107}{6 }[/tex], [tex]a_{10}=a_{1}+9d=\frac{25}{2 }+\cancel{9}.\frac{2}{\cancel{3} }=\frac{37}{2 }[/tex]

Проверяваме сбора:
[tex]S_{10}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}[/tex]
[tex]S_{10}=\underbrace{\frac{25}{2 }+\frac{79}{6 }+\frac{83}{6 }+\frac{29}{2 }+\frac{91}{6 }+\frac{95}{6 }+\frac{33}{2 }+\frac{103}{6 }+\frac{107}{6 }+\frac{37}{2 }}_{6}=\frac{930}{6 }=155 [/tex]

Геометричната прогресия е:

[tex]b_{1}=\frac{2}{3 } [/tex]
[tex]b_{2}=b_{1}.q=\frac{2}{3 }.\frac{25}{2 }=\frac{25}{3 }[/tex]

Проверяваме сбора:
[tex]S'_{2}=b_{1}+b_{2}=\frac{2}{3 }+\frac{25}{3 }=\frac{27}{3 }=9[/tex]

Окончателно решенията са:
1) АП: [tex]2,5,8,11,14,17,20,23,26,29[/tex]
ГП: [tex]3,6[/tex]

ИЛИ

2) АП: [tex]\frac{25}{2 }, \frac{79}{6 }, \frac{83}{6 }, \frac{29}{2 }, \frac{91}{6 } ,\frac{95}{6 }, \frac{33}{2 }, \frac{103}{6 }, \frac{107}{6 }, \frac{37}{2 } [/tex]
ГП: [tex]\frac{2}{3 },\frac{25}{3 }[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Прогресии - аритметична и геометрична прогресия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.