Доказателство

[qwerradi]

Докажете равенствата:

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Зад. 1. Лявата страна е всъщност

[tex]C_{n}^k C_{k}^r=\frac{n!}{k!(n-k)!}.\frac{k!}{r!(k-r)!}=\frac{n!}{(n-k)!r!(k-r)!}[/tex].

Дясната е

[tex]C_{n}^r C_{n-r}^{k-r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}.\frac{(n-r)!}{(k-r)!(n-k)!}=\frac{n!}{(k-r)!r!(n-k)!}[/tex].

Равенството е налице.

Зад. 2. Лявата страна е

[tex]C_{n}^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}[/tex],

а дясната –

[tex]\frac{n}{r}C_{n-1}^{r-1}=\frac{n}{r}.\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-1-r+1)!}=\frac{n(n-1)!}{r(r-1)!(n-r)!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}[/tex].

[r2d2]

Имаме n-човека, от тях искаме да изберем група от r - души, като им определим и началник. Това можем да направим по два начина:

1. Първо от n - тимата избираме един за началник - можем по [tex]C_1^n=n[/tex] - начина. После от останалите n-1 избираме група от r-1 човека - можем да го направим по [tex]C_{r-1}^{n-1} [/tex]начина.

2. От n-те човека избираме група от r по [tex]C_r^n [/tex]начина, а след това от избраните r определяме началник по [tex]C_1^r=r [/tex]начина.

Понеже броят на групите определени по първия начин е колкото тези по втория имаме:

[tex]C_1^n\cdot C_{r-1}^{n-1}=C_r^n\cdot C_1^r \Rightarrow \frac{n}{r} C_{r-1}^{n-1}=C_r^n[/tex]

Другата задача е обобщение на тази!