4 задача от Есенен турнир 2007-9 клас

[mousehack]

Да се намери най-малкото естествено число,което е делител на [tex]2^{n}+15[/tex] за някое естествено число [tex]n[/tex] и се представя във вида [tex]3x^2-4xy+3y^2[/tex] за някои цели числа [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex].

[Реклама]

[martosss]

Ми би трябвало да е 47
Ще докажем, че то е търсеното.
Нека x≤y.
Разглеждаме (х,у):
(0,1)=> 3
(0,k)=> 3k²
(1,1)=> 2
(1,2)=> 7
(1,3)=> 18
(1,4)=> 57
(1,k+4)=> число, по-голямо от 57, а ние искаме 47.
(2,2) => 8
(2,3) => 15
(2,4) => 28
(2,5) => 47

Сега за 2 3 7 доказваш, че не е възможно да са делители на 2^n+15, а пък 47=2⁵+15 и си готов.

Сега се замислям, в условието пише цели числа х и у, значи може да са отрицателни, тогава x²+2(x-y)²+y² ще добие различни стойности, които също трябва да се проверят.

Да, даже 47 май не е отговор... при (x,y)=(1,-2) получаваме 23, което е 15+8...

[krainik]

Ако не се лъжа отговорът беше 23. Просто заместваш и доказваш, че 17,19 не могат да се представят в горния вид.