Geometriq

[DFchee]

V triygylnik ABC ygyl BAC= 45 gradosa i ygyl ABC= 30 gradosa tochka m e vytreshna na triygylnika taka che Mygyl MAB = ygyl MBA = 15 gradusa. Namerete ygyk BMC. OTG. 135gradusa

trqbva mi nachina po koito dostigame do otgovora az imam charteja

[Реклама]

[r2d2]

Продължи ВС и от А построй АТ перпендикулярна на ВС (T лежи на ВС). Можеш ли да продължиш?

[fantomas]

Имаме много подобна зада. Само че ъгъл BAC=20 и ABC=30 градуса. Ъгъл MAB=10 градуса, както и ъгъл MBA=10 градуса. Също се търси ъгъл BMC? Отговорът е BMC=60 градуса, но не знам как да стигна до решението.

r2d2, това с височината не виждам как да го използвам. Някой може ли да напише решението ?

Задачата също така я коментираме и тук:
http://science-bg.org/forum/viewtopic.php?t=48

[Футуролог]

Не знам дали това е най-доброто решение, може да има и по-кратки, но просто това ми хрумна на прима виста:

Нека К е описаната около АВС окръжност и О е нейния цвнтър.

Лема1: АОВМ е ромб

Д-во: съответстващият на дъгата АСВ ъгъл
<АОВ=<АОС+<СОВ=2 <АВС + 2 <ВАС = 2(45 + 30) = 2*75=150.
От друга страна <АМВ=150. Следователно тр.АОВ=тр.АМВ (и двата са равнобедрени) и оттук АО=ВО=АМ=ВМ. (*)

Нека Р е втората точка на пресичане на правата АМ с окръжността К.

1) Тр. СОР е равнобедрен, защото СО=РО като радиуси в К. Но
<СОР=2<САР=2*30=60 т.е. тр. СОР е равностранен. Следователно СР=РО=ВО=МВ, т.е. СР=МВ.

2) От друга страна <МВС=<АВС-<АВМ=30-15=15. Също <ВСР=<ВАР=15 като съответно вписани ъгли в К. Следователно <МВС=<ВСР=15, т.е. ВМ е успоредна на СР.

От 1) и 2) следва, че ВМСР е успоредник. Така <ВМС=<ВРС, като срещуположни ъгли в успоредник. И понеже <ВРС=180-<ВАС=180-45=135, получаваме, че <ВМС=<ВРС=135.

[Футуролог]

Нека К да е описаната около АВС окръжност и нека центърът и е О.

1) тр. АОС е равностранен и СА=СО.

Първо е равнобедрен, защото АО=СО като радиуси на К. Също така <АОС=2<АВС=2*30=60 като съответни централен и вписън ъгъл.

2) тр. АМО е равнобедрен и АМ=ОМ.

Съответстващият на дъгата АСВ ъгъл <АОВ=<АОС+<СОВ
=2<АВС+2<ВАС=2(30+20)=100 и тъй като АО=ВО като радиуси на К, то АОВ е равнобедрен и като се сметнат ъглите се получава, че <ОАВ=40. Тогава <ОАМ=<ОАВ+ВАМ=40+10=50. <АМВ=160 (смята се, като се забележи, че МА=МВ защото АВМ е равнобедрен и ъглите при основата са 10 по условие). <АМО=1/2 <АМВ = 1/2 160=80 пак от равнобедренността на АВМ. Получаваме, че <АОМ=180 - (<ОАМ + АМО)=180-(50+80) = 180-130 = 50. Така <ОАМ=<АОМ=50, откъдето следва, че тр. АМО е равнобедрен и АМ=ОМ.

3) тр. АСМ=тр. ОСМ.

От 1) и 2) следва, че съответно СА=СО и АМ=ОМ. Понеже СМ е обща страна за двата триъгълника, получаваме исканото твърдение.

4) <АСМ=30

От 3) следва, че <АСМ=<ОСМ и от 1) следва, че 60=<АСО = <АСМ+<ОСМ =2 <АСМ, т.е. <АСМ=30.

5) <ВСМ=100

<АСВ=130 като се сметнат ъглите в тр. АВС. Е тогава от 4) следва, че <ВСМ = <АСВ-<АСМ = 130-30 = 100

6) <ВМС=60

В триъгълник ВМС вече знаем <СВМ=СВА-<АВМ=30-10=20 и <ВСМ = 100 от 4). Тогава третият ъгъл <ВМС=180-(<СВМ+<ВСМ)=180-(20+100) = 180 - 120=60.

[fantomas]

Футуролог, ти си цар ))) Имаш една голяма бира от мен в студентски град. Благодаря ти за помощта ))

[r2d2]

Eто и моето решение:


THANKS METH

[Methuselah]

Изтрих разстоянието между < и img , между src i = , mejdu = i "http:// ... i be6e propusnal kavi4kite sled .bmp . eto kak izglejda ako xxx=img <xxx src="http://ikdelev.hit.bg/7kl.bmp">