граница с e

[drago_prd]

Ако може някой да ми помогне с по-подробно решение на следната задача, че нещо.. не мога да се оправя...

Намерете:
[tex]\lim_{x \to 0}{\left(1+\frac{2}{x}\right)^x}[/tex]

отг. [tex]\sqrt{e}[/tex]

[Реклама]

[stflyfisher]

[drago_prd]

[naitsirk]

аз пък залагам на [tex]e^2[/tex].

Положи [tex]\frac{x}{2 }=t [/tex]...

[ганка симеонова]

[mkmarinov]

[tex]=\lim_{x \to 0}e^{x.ln(\frac{x+2}{x})}=\lim_{x \to 0}e^{x.(ln(x+2)-ln(x))}=\lim_{x \to 0}\frac{e^{x.ln(x+2)}}{e^{x.lnx}}=\frac{e^0}{e^0}=1[/tex]
И в двата случая отговорът е грешен.

[drago_prd]

Ами в условието x->0.

Учихме и формулата [tex]\lim_{x \to 0}{(1+x)}^{\frac{1}{x}} = e[/tex]
и предполагам, че тя трябваше да се използва..

Благодаря на всички, които ми помогнаха...

[stflyfisher]

[ганка симеонова]

Аз бих работила, логаритмувайки.
[tex]lny=xln(1+\frac{2}{x } )=\frac{ln(1+\frac{2}{ x}) }{\frac{1}{ x} } [/tex]
После бих ползвала Лопитал.
Тогава [tex]limlny=lim\frac{2}{1+\frac{2}{x } } =0; x->0=>limy=e^0=1 [/tex]

[stflyfisher]

Да, съгласен съм, но по-горе така директно написано не се вижда как става. И аз получих този отговор по-рано чрез Лопитал, но задачата е за 12 клас, а там май теоремите на Лопитал не се изучават или се бъркам.

[mkmarinov]

^
Използвах наготово, че [tex]\lim_{x \to 0}xlnx=0[/tex]
[tex]\lim_{x \to 0}x.lnx=\lim_{x \to 0}\frac{lnx}{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0}-x=0[/tex]

[shebekmar]

тук ДС търсят ли се?
нали не, от едно извесно време това ми е болна тема

[stflyfisher]

[mkmarinov]

Съвет: не се имай за толкова начетен, защото и ти имаш бисери.
Подсказка: "[tex]\frac{1}{\epsilon}=\infty[/tex]".

[stflyfisher]