Корени

[kiro]

[tex]\frac{1}{x } + \frac{1}{\sqrt{1-x^2} } =\frac{35}{12 } [/tex]

[Реклама]

[ганка симеонова]

DM: [tex]x\in (-1; 0)\cup (0;1) [/tex]
Повдигаме на квадрат двете страни=>

[tex]\frac{1}{ x^2} +\frac{2}{ x\sqrt{1-x^2} } +\frac{1}{1-x^2 } =\frac{35^2}{ 12^2}[/tex]

Привеждаме под ОЗ първата и третата дроб и получаваме

[tex]\frac{1}{ x^2(1-x^2)} +\frac{2}{ x\sqrt{1-x^2} }=\frac{35^2}{ 12^2}[/tex]; Полагаме [tex]\frac{1}{x\sqrt{1-x^2} } =u[/tex]=>

[tex]u^2+2u-\frac{1225}{ 144} =0=>u_1=-\frac{49}{ 12} ; u_2=\frac{25}{ 12} [/tex]

След това, мисля е ясно...

[gsinekliev]

Понеже от ДС имаме, че [tex]x\in (-1;1)[/tex] полагаме [tex]x = sin\alpha[/tex]. Тогава уравнението е еквивалентно на:
[tex]\frac{1}{sin\alpha }+\frac{1}{cos\alpha }=\frac{35}{12}[/tex]
След привеждане под общ знаменател и умножаване на кръст се стига до:
[tex]35sin\alpha cos\alpha = 12(sin\alpha +cos\alpha )[/tex]Оттук правим класическото полагане:
[tex]sin\alpha +cos\alpha = u[/tex]
[tex]sin\alpha*cos\alpha = \frac{u^2-1}{2}[/tex]Като заместим се получава квадратно уравнение:
[tex]35u^2 -24u-35[/tex] със корени [tex]\frac{49}{35}[/tex] и[tex] -\frac{5}{7}[/tex]
/*Първото не е решение, защото е по-малко от [tex]-\sqrt{2}[/tex] (Тук се използва, че функцията [tex]f(x) =sin\alpha +cos\alpha \in [-\sqrt{2}; +\sqrt{2}] [/tex]независимо от стойноста на [tex]\alpha [/tex])*/
Връщаме се в положеното и трябва да решим
[tex]sin\alpha +cos\alpha = -\frac{5}{7}[/tex]
[tex]sin\alpha +cos\alpha = \frac{7}{5}[/tex]
Може и да съм объркал нещо,но това е идеята в общи линии.Коренът(ите) е [tex]x = sin\alpha [/tex][/tex]

[ганка симеонова]

[gsinekliev]

Тук съм изпуснал [tex]x=sin\alpha, \alpha \in (-\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2})[/tex] .Така се получава положителен косинус, но не съм сигурен дали така полагането е вярно.

[mkmarinov]

[kiro]

мерси много