 Регистрирайте се
| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
qbox
Начинаещ
Регистриран на: 16 Jun 2009
Мнения: 6
  
|
 Пуснато на: Mon Oct 12, 2009 7:39 am Заглавие: Задача по анализ |
|
|
Здравейте. Запонах с анализа и сега имам дерт с една задача. Мже би по0късно ще се смея на трудността и, но за сега не мога да измисля нищо по нея. Та задачата е следната:
Нека А и В са огранични отгоре множества. Полагаме
А+В={a+b : a[tex]\in[/tex]A, b[tex]\in[/tex]B}
Докажете, че: sup(A+B)=supA + supB.
Надявам се да ми помогнете и за напред да нямам дертове със задачи по анализ. |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
pipi langstrump
Начинаещ
Регистриран на: 15 Feb 2009
Мнения: 24
гласове: 1
|
| Пуснато на: Mon Oct 12, 2009 3:19 pm Заглавие: |
|
|
За произволно [tex]\varepsilon > 0[/tex] , съществува [tex]a\in A[/tex] и [tex]b\in B[/tex] , така че [tex]\sup A - \varepsilon \le a [/tex] и [tex]\sup B - \varepsilon \le b[/tex] . Оттук [tex]\sup A + \sup B - 2\varepsilon \le a+b \le \sup (A+B)[/tex] . Поради произволността на положителното число епсилон, оттук следва неравенството [tex]\sup A + \sup B \le \sup (A+B)[/tex] .
От друга страна съществува [tex]\varepsilon > 0[/tex], така че [tex]\sup (A+B) - \varepsilon \le a+b \le \sup A + \sup B[/tex] . Отново поради произволността на епсилон, оттук следва [tex]\sup (A+B) \le \sup A + \sup B[/tex] . |
|
| Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher
Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394
гласове: 10
|
| Пуснато на: Tue Oct 13, 2009 9:18 am Заглавие: Re: Задача по анализ |
|
|
| qbox написа: | Здравейте. Запонах с анализа и сега имам дерт с една задача. Мже би по0късно ще се смея на трудността и, но за сега не мога да измисля нищо по нея. Та задачата е следната:
Нека А и В са огранични отгоре множества. Полагаме
А+В={a+b : a[tex]\in[/tex]A, b[tex]\in[/tex]B}
Докажете, че: sup(A+B)=supA + supB.
Надявам се да ми помогнете и за напред да нямам дертове със задачи по анализ. |
[tex]A[/tex] ограничено отгоре [tex] \Rightarrow\exist sup(A)=\alpha, \alpha \in R [/tex],
[tex]B[/tex] ограничено отгоре [tex] \Rightarrow \exist sup(B)=\beta, \beta \in R[/tex],
1) [tex]A[/tex] ограничено отгоре [tex] \Rightarrow\exist \alpha_1 \in R: \forall a \in A\Rightarrow a<\alpha_1; [/tex]
2) [tex] B[/tex] ограничено отгоре [tex] \Rightarrow \exist \beta_1 \in R: \forall b \in B\Rightarrow b<\beta_1[/tex]
От 1), 2) и дефеницията за множеството [tex] A+B[/tex]
[tex] \Rightarrow \forall a \in A, \forall b \in B =>c = a+b \in A+B,c = a+b<\alpha_1+\beta_1 = \gamma_1 t.e. \exist \gamma_1 \in R: \forall c \in A+B, c< \gamma_1\Rightarrow A+B[/tex] е ограничено отгоре[tex] \Rightarrow \exist sup(A+B)[/tex]
От определението за точна горна граница=>
[tex] \alpha =sup(A) \Rightarrow 1) \foral a\in A, a\le \alpha, 2) \foral \frac{\epsilon}{2}>0, \exist a_{\epsilon}\in A \Rightarrow a_{\epsilon}> \alpha-\frac{\epsilon}{2}[/tex]
[tex] \beta =sup(B) \Rightarrow 3) \foral b\in B, b\le \beta, 4) \foral \frac{\epsilon}{2}>0, \exist b_{\epsilon}\in B \Rightarrow b_{\epsilon}> \beta-\frac{\epsilon}{2}[/tex]
От 1) и 3) [tex] \Rightarrow \foral a \in A, \foral b \in B,\Rightarrow (\foral c=a+b \in A+B), 5 ) c = a+b \le \alpha+\beta[/tex]
От 2) и 4) [tex] \Rightarrow \foral \epsilon >0, \exist a_{\epsilon} \in A, \exist b_{\epsilon} \in B \Rightarrow (\exist c_{\epsilon} = a_{\epsilon}+b_{\epsilon} \in A+B), 6)c_{\epsilon}=a_{\epsilon}+b_{\epsilon}>\alpha-\frac{\epsilon}{2}+\beta-\frac{\epsilon}{2}=\alpha+\beta-\epsilon \Rightarrow c_{\epsilon}=a_{\epsilon}+b_{\epsilon}>(\alpha+\beta)-\epsilon [/tex]
От 5), 6) и определението за точна горна граница [tex]\Rightarrow \alpha+\beta = sup(A+B) \Rightarrow sup(A+B)=sup(A)+sup(B)[/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher
Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394
гласове: 10
|
| Пуснато на: Thu Oct 22, 2009 12:42 pm Заглавие: |
|
|
Интересна би представлявала задачата на qbox, ако е зададена по следния начин:
Задача 1: Нека са дадени числовите множества [tex] A \ne \emptyset , B \ne \emptyset[/tex], където [tex]\emptyset[/tex] е празното множество и [tex]A+B=\{a+b, a \in A, b \in B\}[/tex]. Да се докажат равенствата:
а) [tex] sup(A+B)=sup(A)+sup(B)[/tex];
б) [tex] inf(A+B)=inf(A)+inf(B)[/tex].
При интерес към такъв тип задачи, ще дам още още една от този вид 
п.п. Част от решението на задача 1, а) е по-горе  , но това е само частен случай на така поставената задача . Решавайки а), б) се решава аналогично 
п.п.п. Разбира се това е стандартна задача по анализ предназначена предимно за студенти |
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
|
|
Меню
