Индукция

[qwerradi]

Да се докаже чрез индукция

[Реклама]

[martosss]

За n=4 => 16≥16.
Нека за n=k e изпълнено 2^k≥k².
За n=k+1 трябва да докажем, че 2^k+1≥k²+2k+1

От индукционното предположение следва, че е достатъчно да докажем, че
2^k≥2k+1.
От индукционното предположение имаме 2^k≥k²,така че остава да докажем, че
k²≥2k+1
(k-1)²-2≥0
(k-1-√2)(k-1+√2)≥0
k≤1-√2 или k≥1+√2
Само че ние имаме k>4, което напълно влиза във втория интервал, тоест за всяко k>4 имаме 2^k≥k²+2k+1.
Оттук чрез метода на математическата индукция следва търсеното твърдение.

[stflyfisher]

Задачата е: Да се докаже, чрез метода на математическата индукция (МMИ):

[tex] n^2\le 2^n, n \in N, n \ge 4[/tex]

Решение:
1) Нека [tex] n=4 => 4^2=16 \le 2^4=16, 16\le 16[/tex], което е вярно числово неравенство;
2) Допускаме, че е неравенството е вярно за [tex] n=k, k\in N, k>4[/tex],[tex] k^2\le 2^k[/tex] е вярно неравенство;
3)Ще докажем, че е вярно за [tex] k+1 >5, k +1\in N[/tex], неравенството: [tex] (k+1)^2\le 2^{k+1}[/tex]

[tex] (k+1)^2=k^2+2k+1\le 2^k+2k+1[/tex], което следва от допускането 2)

Разглеждаме функцията: [tex] y=f(x)=2^x+2x+1-2^{x+1}=2x+1-2^x, x \in R[/tex]

a) [tex] DM_{y=f(x)}: x \in (-\infty ; + \infty)[/tex]
b) [tex] y=f(x)[/tex] е непрекъсната функция за [tex] \foral x \in DM_{y=f(x)}[/tex]
c) [tex]\lim_{x \to -\infty } f(x)=\lim_{x \to -\infty }(2x+1-2^x)=2(-\infty )+1-2^{(-\infty) }=-\infty +0=-\infty [/tex]
d) [tex]\lim_{x \to +\infty } f(x)=\lim_{x \to +\infty }(2x+1-2^x)=[+\infty -\infty ]=\lim_{x \to +\infty }\frac{\frac{1}{2^x}-\frac{1}{2x+1}}{\frac{1}{2^x(2x+1)}}=[\frac{0}{0}]=[/tex], прилага се Теоремата на Лопитал[tex]=>=...=-\infty [/tex]
т.е. [tex]\lim_{x \to +\infty } f(x)=\lim_{x \to +\infty }(2x+1-2^x)=-\infty [/tex]
е) [tex] y'=f'(x)=2-2^xln2[/tex]
f) [tex]y'=0=>2-2^xln2=0, 2^xln2=2, 2^x=\frac{2}{ln2}=\frac{2}{\frac{1}{log_2e}}=2log_2e=log_2e^2[/tex]
[tex] 2^x=log_2e^2[/tex]
[tex]x=log_2(log_2e^2)[/tex]
Нека да бележим с [tex]x_0[/tex] числото [tex]log_2(log_2e^2)[/tex] т.е.
[tex] x_0=log_2(log_2e^2)[/tex], като за отбелязване, е че [tex] 1<x_0<2[/tex]
Д-во: Вярно, е че[tex]2<e<3<4=>[/tex]
[tex]2^2<e^2<3^2<4^2=>2^2<e^2<4^2[/tex]
логаритмуваме при основа [tex]2>1=>log_22^2<log_2e^2<log_24^2=log_22^4=>[/tex]
[tex]2<e^2<4[/tex]
Отново логаритмуваме при основа [tex]2>1=>log_22<log_2(log_2e^2)<log_24=>[/tex]
[tex]1<x_0=log_2(log_2e^2)<2[/tex]
g) [tex] y'>0=>2-2^xln2>0, 2^xln2<2,......, x<x_0=log_2(log_2e^2)=>[/tex]
при [tex] x<x_0[/tex], то функцята [tex] y=f(x)=2x+1-2^x[/tex] e СТРОГО РАСТЯЩА т.е за [tex]\foral x<x_0=>f(x)<f(x_0)[/tex]
h) [tex] y'<0=>2-2^xln2<0, 2^xln2>2,......, x>x_0=log_2(log_2e^2)=>[/tex]
при [tex] x>x_0[/tex], то функцята [tex] y=f(x)=2x+1-2^x[/tex] e СТРОГО НАМАЛЯВАЩА т.е за [tex]\foral x>x_0=>f(x)<f(x_0)[/tex]
i) [tex] y''=-2^xln^22<0=>\forall x \in Dm_{y=f(x)}[/tex] функцията е СТРОГО ВДЛЪБНАТА

[martosss]

Защо си го решил по толкова сложен начин? Кое не ти харесва в моето решение?

[stflyfisher]

j) Тъй като за [tex]\forall x<x_0, y'>0[/tex] и [tex]\forall x>x_0, y'<0 =>[/tex] в т. [tex] x_0=log_2(log_2e^2)[/tex] имаме локален максимум т.е. [tex] y_{max}=y(x_0)=y(log_2(log_2e^2))=2log_2(log_2e^2)+1-2^{log_2(log_2e^2)}=2log_2(2log_2e)+1-log_2e^2=2(log_22+log_2e)+1-2log_2e=2+2log_2e+1-2log_2e=3[/tex]
[tex] y_{max}=y(x_0)=3>0[/tex]

k) [tex] y(0)=2.0+1-2^0=0[/tex]
[tex] y(2)=2.2+1-2^2=1[/tex]
[tex] y(3)=2.3+1-2^3=-1[/tex]
[tex] y(4)=2.4+1-2^4=-7[/tex]

l) От [tex] f(2)=1>0, f(3)=-1<0, f(x)-[/tex] непрекъсната за [tex] \forall x\in DM_{y=f(x)}[/tex] по теоремата на Болцано-Коши [tex] => \exist [/tex] поне едно [tex] x_1 \in [2;3][/tex] такова, че [tex] f(x_1)=0[/tex], но за [tex] x_0=log_2(log_2e^2)<2<x_1<3[/tex] функцията е стрго намал[ваща[tex] => \exist [/tex] точно едно [tex] x_1 \in [2;3][/tex] такова, че [tex] f(x_1)=0[/tex], с което се доказва, че уравнението [tex] 2x+1-2^x=0[/tex] има два корена, едниният, от които веднага се вижда, че [tex] x=0[/tex], другия корен е в интервала [tex] [2;3][/tex]

[stflyfisher]

От по-горе от a)[tex] \div [/tex] l) =>

[tex] \forall x \in R \equiv DM_{y=f(x)}, [/tex] такова, че [tex] x_0<x_1<3<4<x[/tex] функцията е намаляваща =>
[tex] f(x_0)>f(x_1)>f(3)>f(4)>f(x)[/tex]

[tex]3>0>-1>-7>f(x)=2x+1-2^x=2^x+2x+1-2^{x+1}[/tex]

[tex]0>-7>f(x)=2x+1-2^x=2^x+2x+1-2^{x+1}[/tex]

[tex]f(x)=2x+1-2^x=2^x+2x+1-2^{x+1}<0=>[/tex]

[tex]2^x+2x+1<2^{x+1}, x>4, x \in R=>[/tex]

[tex] \forall k \in N, k>4[/tex] вярно [tex] 2^k+2k+1<2^{k+1}[/tex]

с което се доказва исканото неравенство 3) от ММИ т.е. е вярно:

[tex] (k+1)^2\le 2^{k+1}[/tex] за [tex] k+1>5, k \in N[/tex]

От 1), 2) и 3) и ММИ => че е вярно: [tex] n^2\le 2^n, n \in N, n\ge 4[/tex]

п.п. Луд умора няма, само се изпотява

[stflyfisher]

Разбира се всичко по-горе довежда до построяването на графиката на функцията, която с помощта на компютрите става лесно ;–)

[krainik]

Разбира се, с ползването на мозък решението на задачата можеше да се сведе до 4,5 реда, а не роман кат този на stflyfisher.

[ганка симеонова]

[estoyanovvd]

Според мен е лудост да наречеш горното решение интересно!!!

[ганка симеонова]

[martosss]

Добре, госпожо, ако трябваше да оцените горните решения по практичност, кое щяхте да изберете? Моето е в пъти по-малко, откъдето и шансът ми за грешка е в пъти по-малък. Освен това е много по-достъпно. Ако трябваше да обясните тази задача на един 8-класник и тръгнете по долния начин, той ще ви гледа като изтребител! ! ! Наистина, и лудите имат право на усещане за красота, само че .... останалите индивиди от обществото не го приемат.

Мен са ме учили като видя една задача винаги да търся най-краткия път за решение, а не да се забия някъде и да решавам като гламав. И ако се замислите ако ви накарат да преброите колко са дърветата в една правоъгълна ябълкова градина вие няма да ги преброите едно по едно, защото така е по-красиво, а ще умножите броя на редовете по броя на дърветата във всеки ред. В случая просто второто решение ми се вижда прекалено дълго. Разбирам, друг метод, по-дълъг, хубаво, ама това е 3 страници !

[ганка симеонова]

Ох Март, решението ти е перфектно, кратко и ясно.
Просто решението на Ст е различно. Лошо ли е, човек да пуска различно решение?
Освен това, решението на Ст ми подсказа, решението на една задача, която се опитвам преборя вече доста време.

[estoyanovvd]

Да беше я пуснала, можеше и да ти помогнем!!!

[ганка симеонова]

[estoyanovvd]

И какво да търся?

[ганка симеонова]

Нещо с натурален логаритъм и точен квадрат

[estoyanovvd]

Бихте ли дали линк за задачата, госпожо Симеонова?

[ганка симеонова]

задача 86 на Титу. Аз я реших за една част от реалната права, но ми се опъва за другата.
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=748&start=180

[stflyfisher]

Добра дискусия се е получило относно второто решение на задачата.
Ще отговоря на всеки въпрос или критика.

[stflyfisher]

[Apocalyp5e]

Стига сте си мерили решенията. Размерът няма значение - важен е крайният резултат

[estoyanovvd]

Ако мислиш, че твоето решение е нещо кой знае какво ново и неизвестно, много се лъжеш. Този начин за доказване на неравенства го има в учебника за 12 клас - профилираната подготовка. Би било полезно да дадеш нещо ново пък макар и дълго, но това.... си е чиста лудост!!!

[stflyfisher]

[Dian Atanasov<T1BLD>]

Честно казано като гледам спора ви спорет мен най-права е госножа Ганка Симеонова, защото аз винаги смятам че добрия математик е този който използва всичко в една задача и не гледа възможно най-краткото и най-обикновено решение, а гледа да напише своето "copy-paste all rights reserved" решение просто защото няма хора, които да мислят еднакво освен преписвачите, които по принцип не мислят.задачите са еднакво вярни, но на различни състезания биха били оценени по различен начин :на състезание за време Марто е по-добър, но ако е на национална олимпиада е по-добре да е мнооооооооооого по-дълго, защото за една "," ти дават или отнемат точки.

[krainik]

T1BLD, не си много в ред мойто момче. Ако наистина се взимаше за запетаи или правописни грешки - твоят резултат щеше да е и отрицателен На национална олимпиада било важно да е бъде по-дълго... Кви са тия простотии бе, мен? Нека да ти е вярно и да няма изпусната информация - пък да видим дали ще ти вземат точки... И ако някой ти види решение, което е близо 3 страници, при положение,че има и друго на 5 реда, не мисля, че ще е доста впечатлен...

[Dian Atanasov<T1BLD>]

чобек, абе не знам що все с мен трябва да се заяждаш, ама относно олимпиадите виждал ли си критериите за оценяване? Неща, които не са от значение се оценяват , иначе ми е бая интересно, защо реши точно мене да нападнеш след като си ми отговарял по подобен начин и други пъти, а никой друг от форума не го прави

[Dian Atanasov<T1BLD>]

иначе сега да не тръгнеш да ме нападаш по-силно.Аз не искам врагове и не изкам да споря просто не ми харесва начина по който се държиш.
sorry пак не искам да те нагрубя или обидя по никакъв начин просто извинявай, ако има нещо което съм направил в миналото и те е провокирало

[estoyanovvd]

Ами сега аз ще те нападна и ще ти кажа, че това, дето си писал за олимпиадите, са абсолютни глупости!!! Дай пример за да се убедим, че не става въпрос за олимпиада по български и литература, а за математика!!! Иначе може просто да си объркал форума, човече!!! И не мога да разбера защо някои хора не искат да си признаят грешките, а се запъват като магарица на мост, че даже и други започват да ги защитават?!?!?! Как може да кажеш на черното бяло просто умът ми не го побира?

[Dian Atanasov<T1BLD>]

оф! не ми са спори, честно. просто като гледах критериите за оценяване на втория кръг на олимпиадата по математика забелязах, че се дават точки само на определени решения на задачите и се гледат отделни компоненти от задачите, които се оценяват. а иначе това за запетейката беше символично казано.