Регистрирайте сеРегистрирайте се

няколко задачки


 
   Форум за математика Форуми -> Висша математика
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
bye22
Начинаещ


Регистриран на: 07 Jul 2009
Мнения: 29

Репутация: 2.5Репутация: 2.5

МнениеПуснато на: Fri Oct 09, 2009 10:46 pm    Заглавие: няколко задачки

(1+x)n≥1+nx, Всяко x≥-1, по метода на математ. индуция
2n>n2, Всяко n>4
Благодаря предварително!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Sat Oct 10, 2009 12:12 am    Заглавие:

Що е то математическа индукция? Това е метод за доказване на равенства или неравенства (твърдения изобщо) за дадено множество, като се тръгва от частните случаи. Идеята се състои в това:
− да докажем, че исканото твърдение е вярно за [tex]n=1[/tex];
− да предположим, че твърдението е изпълнено за някакво [tex]n=k[/tex];
− въз основа на допуснатото да докажем верността и за [tex]n=k+1[/tex].
Ще решим един по-прост пример като за начало.

1. Да се докаже, че [tex]\fbox{1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}}[/tex].

Доказателство. Проверяваме дали равенството е изпълнено при [tex]n=1[/tex] − [tex]1=\frac{1.2}{2}=1[/tex] − вярно е. Сега нека то е в сила за някакво [tex]n=k[/tex], т. е. е в сила [tex]1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}[/tex]. Тогава нашата задача се състои в доказването на това, че [tex]1+2+...+k+k+1=\frac{(k+1)(k+2)}{2} \, (*)[/tex]. Чрез кратки разсъждения ще покажем, че лявата страна е равна на дясната. Според индукционното предположение [tex]1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}[/tex]. Заместваме това в [tex](*)[/tex] и получаваме [tex]\frac{k(k+1)}{2}+k+1=(k+1)(\frac{k}{2}+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex]. Действително получихме исканото. Твърдението е доказано.

Да се върнем към задачата − неравенство на Бернули. За да докажем, че [tex]\fbox {(1+x)^n \ge 1+nx}, \, x \ge -1[/tex], отново постъпваме по гореописания начин. При [tex]n=1[/tex] имаме [tex]1+x \ge 1+x[/tex] − това действително е така. Допускаме, че е изпълнено за [tex]n=k[/tex] − или [tex](1+x)^k \ge 1+kx \, (**)[/tex] е вярно числово неравенство. Ще докажем и верността за [tex]n=k+1[/tex] − [tex](1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x[/tex]. Тогава [tex](1+x)(1+x)^k \ge (1+kx)(1+x) \Leftrightarrow (1+x)(1+x)^k \ge 1+x+kx+kx^2[/tex]. Оттук [tex](1+x)^{k+1} \ge 1+x+kx \Leftrightarrow (1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x[/tex], което трябваше да се докаже.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
bye22
Начинаещ


Регистриран на: 07 Jul 2009
Мнения: 29

Репутация: 2.5Репутация: 2.5

МнениеПуснато на: Fri Oct 23, 2009 6:45 pm    Заглавие:

∑ ot k=2 do 30 (30/k)*(-1) na stepen k * 2 na stepen 30-k ???
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Fri Oct 23, 2009 7:09 pm    Заглавие:

bye22 написа:
∑ ot k=2 do 30 (30/k)*(-1) na stepen k * 2 na stepen 30-k ???

Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
bye22
Начинаещ


Регистриран на: 07 Jul 2009
Мнения: 29

Репутация: 2.5Репутация: 2.5

МнениеПуснато на: Fri Oct 23, 2009 7:49 pm    Заглавие:

n=2 до горен индекс 30 (-1) k * 2n-k, k и n-k са степенни показатели, търси се сумата от n=2 до 30??
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Fri Oct 23, 2009 8:41 pm    Заглавие:

k какво е?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
bye22
Начинаещ


Регистриран на: 07 Jul 2009
Мнения: 29

Репутация: 2.5Репутация: 2.5

МнениеПуснато на: Fri Oct 23, 2009 9:17 pm    Заглавие:

---------

Последната промяна е направена от bye22 на Fri Oct 23, 2009 9:37 pm; мнението е било променяно общо 2 пъти
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Fri Oct 23, 2009 9:33 pm    Заглавие:

[tex]\sum_{n=2}^{30}\(-\frac{1}{2}\)^k 2^n=\(-\frac{1}{2}\)^k (2^2 + ... + 2^{30})[/tex]

Така би трябвало да е. Понеже нищо не се казва за k го възприемаме като някакво число и просто изнасяме общ множител. Нали?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Висша математика Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.