Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
bye22 Начинаещ
Регистриран на: 07 Jul 2009 Мнения: 29
|
Пуснато на: Fri Oct 09, 2009 10:46 pm Заглавие: няколко задачки |
|
|
(1+x)n≥1+nx, Всяко x≥-1, по метода на математ. индуция
2n>n2, Всяко n>4
Благодаря предварително! |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Spider Iovkov VIP
Регистриран на: 12 Jan 2007 Мнения: 1273
гласове: 129
|
Пуснато на: Sat Oct 10, 2009 12:12 am Заглавие: |
|
|
Що е то математическа индукция? Това е метод за доказване на равенства или неравенства (твърдения изобщо) за дадено множество, като се тръгва от частните случаи. Идеята се състои в това:
− да докажем, че исканото твърдение е вярно за [tex]n=1[/tex];
− да предположим, че твърдението е изпълнено за някакво [tex]n=k[/tex];
− въз основа на допуснатото да докажем верността и за [tex]n=k+1[/tex].
Ще решим един по-прост пример като за начало.
1. Да се докаже, че [tex]\fbox{1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}}[/tex].
Доказателство. Проверяваме дали равенството е изпълнено при [tex]n=1[/tex] − [tex]1=\frac{1.2}{2}=1[/tex] − вярно е. Сега нека то е в сила за някакво [tex]n=k[/tex], т. е. е в сила [tex]1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}[/tex]. Тогава нашата задача се състои в доказването на това, че [tex]1+2+...+k+k+1=\frac{(k+1)(k+2)}{2} \, (*)[/tex]. Чрез кратки разсъждения ще покажем, че лявата страна е равна на дясната. Според индукционното предположение [tex]1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}[/tex]. Заместваме това в [tex](*)[/tex] и получаваме [tex]\frac{k(k+1)}{2}+k+1=(k+1)(\frac{k}{2}+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}[/tex]. Действително получихме исканото. Твърдението е доказано.
Да се върнем към задачата − неравенство на Бернули. За да докажем, че [tex]\fbox {(1+x)^n \ge 1+nx}, \, x \ge -1[/tex], отново постъпваме по гореописания начин. При [tex]n=1[/tex] имаме [tex]1+x \ge 1+x[/tex] − това действително е така. Допускаме, че е изпълнено за [tex]n=k[/tex] − или [tex](1+x)^k \ge 1+kx \, (**)[/tex] е вярно числово неравенство. Ще докажем и верността за [tex]n=k+1[/tex] − [tex](1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x[/tex]. Тогава [tex](1+x)(1+x)^k \ge (1+kx)(1+x) \Leftrightarrow (1+x)(1+x)^k \ge 1+x+kx+kx^2[/tex]. Оттук [tex](1+x)^{k+1} \ge 1+x+kx \Leftrightarrow (1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x[/tex], което трябваше да се докаже. |
|
Върнете се в началото |
|
|
bye22 Начинаещ
Регистриран на: 07 Jul 2009 Мнения: 29
|
Пуснато на: Fri Oct 23, 2009 6:45 pm Заглавие: |
|
|
∑ ot k=2 do 30 (30/k)*(-1) na stepen k * 2 na stepen 30-k ??? |
|
Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008 Мнения: 5985 Местожителство: софия гласове: 298
|
Пуснато на: Fri Oct 23, 2009 7:09 pm Заглавие: |
|
|
bye22 написа: | ∑ ot k=2 do 30 (30/k)*(-1) na stepen k * 2 na stepen 30-k ??? |
|
|
Върнете се в началото |
|
|
bye22 Начинаещ
Регистриран на: 07 Jul 2009 Мнения: 29
|
Пуснато на: Fri Oct 23, 2009 7:49 pm Заглавие: |
|
|
∑n=2 до горен индекс 30 (-1) k * 2n-k, k и n-k са степенни показатели, търси се сумата от n=2 до 30?? |
|
Върнете се в началото |
|
|
krainik Фен на форума
Регистриран на: 01 May 2009 Мнения: 697
гласове: 44
|
Пуснато на: Fri Oct 23, 2009 8:41 pm Заглавие: |
|
|
k какво е? |
|
Върнете се в началото |
|
|
bye22 Начинаещ
Регистриран на: 07 Jul 2009 Мнения: 29
|
Пуснато на: Fri Oct 23, 2009 9:17 pm Заглавие: |
|
|
---------
Последната промяна е направена от bye22 на Fri Oct 23, 2009 9:37 pm; мнението е било променяно общо 2 пъти |
|
Върнете се в началото |
|
|
_sssss Фен на форума
Регистриран на: 07 Dec 2008 Мнения: 633
гласове: 50
|
Пуснато на: Fri Oct 23, 2009 9:33 pm Заглавие: |
|
|
[tex]\sum_{n=2}^{30}\(-\frac{1}{2}\)^k 2^n=\(-\frac{1}{2}\)^k (2^2 + ... + 2^{30})[/tex]
Така би трябвало да е. Понеже нищо не се казва за k го възприемаме като някакво число и просто изнасяме общ множител. Нали? |
|
Върнете се в началото |
|
|
|