Система вектори

[ironsteel]

Здравейте.Ако може да ви помоля за помощ за следната задача.

Установете дали следната система вектори

(1,2,1), (-1,3,1), (-1,13,5)

е линейно зависима или линейно независима?

Успях да направя линейна комбинация и получих система ,но от там на сетне нещо оплесквам нещата,по-точно незнам как да я реша.

α₁ - α₂ - α₃ = 0

2α₁ + 3α₂ + 13 α₃ = 0

α₁ + α₂ + 5α₃ =0


Ще съм ви много благодарен ако помогнете,ако може подробно обяснение на решението.

[Реклама]

[nikko1]

Ами, това е хомогенна система. Ако тя има ненулево решение, значи системата вектори е линейно зависима, а ако има само нулевото решение, то системата е линейно независима. Единият начин е да решиш системата по метода на Гаус. В този случай, обаче (т.к. имаш 3 вектора в тримерно пространство) е по-удачно да провериш дали детерминантата на системата е нула или е различна от нула. Това е детерминантата [tex]\Delta=\begin{array}{|ccc|}1&-1&-1\\2&3&13\\1&1&5\end{array}.[/tex]
Ако тази дет. е нула, то системата е линейно зависима, а ако не е нула е линейно независима.

[ironsteel]

[ганка симеонова]

ОК, направил си системата. Не си учил за детерминанти. Лошо няма.
Сега кажи, кога една система вектори е линейно зависима ( независима), според това, което си учил?

И освен това, имаш линейна система с 3 неизвестни. Не можеш ли да я решиш?

[_sssss]

И аз бих я решила.

[tex](-2a_3; \, -3a_3; \, a_3)[/tex]

Т.е. е линейно зависима.

[ironsteel]

[_sssss]

Точно със заместване.
[tex]\normal a_1=a_2+a_3[/tex] -> заместваме в (3)

(3) --> [tex]\normal a_2=-3a_3[/tex]

Връщаме се в (1)--> [tex]\normal a_1 = -2a_3[/tex]

После си правим проверка.

[ironsteel]

[_sssss]

Само [tex]\normal a_3[/tex] се получи повреме на решението.

Изразяваме [tex]\normal a_1[/tex] от уравнение (1) и го заместваме в (3). Така намираме [tex]\normal a_2[/tex] чрез [tex]\normal a_3[/tex].

След което, точно както предполагаш - заместваме с получените стойности.(не съм сигурна дали е наложително, но за всеки случай)