квадрат-СУ

[gsinekliev]

Даден е квадратът [tex]ABCD [/tex]със страна a. Правата t пресича правите [tex]AB, BC, CD, DA [/tex]съответно в точките M,N,P,Q.
Да се докаже, че [tex]\frac{1}{MP^2}+\frac{1}{NQ^2}=\frac{1}{a^2}[/tex]
Лошото тук е, че трябва да се разгледат много случаи за правата t.
Аз виждам около 4.Предполагам, че има решение, което да ги обобщава.

[Реклама]

[martosss]

Двете части в ляво са еднакви, просто едното е огледално на другото и завъртяно на 90°. Иначе задачата е доволна.

Впрочем не знам това условие не куца ли нещо. Забележи, че за даден квадрат 1/a² е константа. Другата страна обаче зависи от правата t. ако тази права се отдалечи много от квадрата няма ли тези отсечки MN и PQ да станат много големи, откъдето равенството да се наруши... Имам предвид твоя случай горе в дясно. Представи си, че правата t я зафучиш мноооого надалече, примерно на разстояние 10а от точка В, тогава MN и PQ ще станат мноооого големи... греша ли някъде?

[gsinekliev]

В конкретния случай(за картинката горе вдясно говоря) в уравнението участват отсечките MP и NQ, които колкото и да ги отдалечаваме -изразът си остава същия.
Ако построим права успоредна на t , която е по- отдалечена от квадрата въпросните отсечки остават със същата големина.Променя се само дължината на MN която не участва в израза.Ако пък построим отсечка която не е успоредна разсъждаваме по подобен начин.Дължините на двете отсечки са обратно пропорционални.Примерно ако доближим P по наляво MP ще стане по къса, но Q ше слезе по надолу и NQ ще стане по дълга.Така се предполага че сборът [tex]\frac{1}{MP^2}+\frac{1}{NQ^2} [/tex]ще остане постоянен.
Разбира се това са само предположения, защото и аз не успях да обобща решението.Иначе всеки може да реши тези 3-4 отделни подзадачки и да го докаже.

[martosss]

Оф, да, вярно, аз изобщо не гледам кои точки се падат.. значи тогава ако си означиш примерно ъгъл CQP=α. Нека Е и F са от страните АД и СД, така че NE=a, MF=a(успоредно пренасяш страната на квадрата през точките М и N).
Тогава получаваш от триъгълници QNE и MPF, че sinα=а/QN => QN=а/sinα. Аналогично PM=a/cosα.
Така като образуваш сбора 1/MP²+1/NQ² получаваш, че е равен на 1/a², защото син²+кос²= 1. По този начин с построението избягваш случаите, защото където и да е тази права, винаги тези отсечки са с една и съща дължина, а дори и да напишеш случаи, което ще е по-добре - така показваш, че си анализирал задачата от всички гледни точки, то случаите стават малко(описал съм ги по-долу).

Като задачата може да се обощи така - правата или пресича 2 от страните на квадрата, или минава през връх на квадрата, или не пресича самия квадрат. В първия случай от пресечните точки се построяват перпендикуляри, във втория случай триъгълниците са ни готови, в третия случай взимаме примерно отново точките M и N и построяваме перпендикуляри съответно към СD и АD.

Надявам се чертежът да е достатъчно ясен. Показал съм първия случай на него.

[gsinekliev]

Чудесна идея!Това действително обобщава всичко.А когато правата е външна може да се разсъждава по същия начин.Построяваме перпендикуляри от точки M и N към AD и CD и пак става.

[martosss]

Да, ако бях на изпит бих написал такова решение Лошото е, че в първия момент изобщо не мислех къде са тези точки и си мислех за MN и РQ , а не за MP и NQ Извод - четете условието по-често!

[gsinekliev]

Сега като гледам чертежите виждам, че има и значение дали правата пресича съседни или срещуположни страни.Ако са срещуположни се построяват перпендикуляри от P към AB и от Q към BC(Чертежите отляво в първия ми пост).Това си е почти същото само че не се спускат перпендикуляри от пресечните точки.
ПП. -Взех задачата от една примерна тема за СУ от списание математика.Това е четвъртата задача.