Интеграл

[Nadin9061]

Нищо не разбирам от тези интеграли.... Ако може някой да ми обясни как да реша тази задача...

Да се пресметне стойността на интеграла: [tex] \int_{0}^{1} (x+1)^{2} e^{2x} dx [/tex] .
Упътване: Започнете решаването на задачата чрез внасяне под знака на диференциала на функция [tex] e^{2x} [/tex] и след това интегрирайте по части.
[/tex]

[Реклама]

[stflyfisher]

[Nadin9061]

Аз ако имах от къде да го науча, нямаше да питам!

[stflyfisher]

[kili]

[tex]\int{(x+1)^2e^{2x}dx}=\int{(x+1)^2d} \left ( \frac{e^{2x}}{2} \right )[/tex]
Интегрирането по части дава
[tex]\frac{1}{2}\left((x+1)^2e^{2x} - \int{e^{2x}\,2\,(x+1)dx} \right).[/tex]
Пресмятаме
[tex]\int{e^{2x}\,2\,(x+1)dx}=\int{2\,(x+1)d\left(\frac{e^{2x}}{2} \right)}=e^{2x}(x+1)-\int{e^{2x}dx}=e^{2x}(x+1-\frac{1}{2}).[/tex]
За краен резултат получаваме
[tex]\int{(x+1)^2e^{2x}dx}=\frac{1}{2}e^{2x}\left( (x+1)^2 - x -1 + \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}e^{2x}(x^2+x+\frac{1}{2}).[/tex]

Сравняваме с
[url]http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=exp%282*x%29*%28x%2B1%29%5E2[/url]
За да пресметнем определения интеграл използваме границите и съответно получаваме
[tex]e^{2x} ( 1 + \frac{1}{4} ) - \frac{1}{4}.[/tex]

Успех !

[stflyfisher]