Минимум на функция

[SV.SV]

Здравейте. От доста време следя форума, но чак сега се престраших да се регистрирам.
Може ли да получа насока за следната задача?

Да се определи минимумът на функцията
[tex]y=\frac{a^2}{x } +\frac{b^2}{1-x } [/tex], ако [tex]a>0; b>0; 0<x<1 [/tex]

ПП Ако може без производна, защото съм в 11 клас.

[Реклама]

[ганка симеонова]

Ще ти предложа едно решение.
Да представим функцията като [tex]y=a^2.\frac{1-x}{ x} +b^2.\frac{x}{1-x } +a^2+b^2 [/tex]
Тъй като [tex]a^2\frac{1-x}{ x}.b^2\frac{x}{1-x }=a^2b^2 [/tex] и не зависи от х, затова и сумата [tex]a^2\frac{1-x}{ x} +b^2\frac{x}{1-x }[/tex] ще е минимална, когато двете събираеми са равни.
Тогава от [tex]a^2\frac{1-x}{ x} =b^2\frac{x}{1-x }=>x=\frac{a}{ a+b}=>y_{min}=(a+b)^2 [/tex]

[martosss]

Ето друго подход, който е по-универсален.
Умножаваме по х(1-х) и опростяваме, така получаваме
[tex]x^2y-(a^2+y-b^2)+a^2=0[/tex]
Сега разглеждаме това уравнение като квадратно относно х, от дискриминантата получаваме
[tex]D=(y+a^2-b^2)^2-4a^2y=(y+a^2-b^2-2a\sqrt y)(y+a^2-b^2+2a\sqrt y)=((\sqrt y-a)^2-b^2)((\sqrt y+a)^2-b^2)\ge 0[/tex]
[tex](\sqrt y-a-b)(\sqrt y-a+b)\underline{(\sqrt y+a-b)}\N {(\sqrt y+a+b)}\ge 0[/tex] последното е винаги положително, така че не играе роля, сега нека примерно a≥b, без значение е кое ще избереш да е по-голямото от двете, тогава
a-b≥0 => [tex]\sqrt y+a-b\ge \sqrt y>0[/tex] и съкращаваме и него
Остават
[tex](\sqrt y-a-b)(\sqrt y-a+b)\ge 0[/tex]
[tex]\sqrt y \in\left(-\infty\: ;\: b-a]\cup [a+b\: ;\: +\infty )[/tex], но [tex]\sqrt y >0[/tex], а пък [tex]b-a<0<a+b[/tex], оттук [tex]\sqrt y\ge a+b\Right y\ge (a+b)^2[/tex]
И за тези стойности на у вече можеш да намериш някакво си х, но тъй като ти търсиш у, то [tex]y_{min}=(a+b)^2[/tex]

Единствено не съм сигурен не трябва ли след като намериш х да направиш проверка дали то наистина е между 0 и 1

Да, ето го и доказателството:
За [tex]y=(a+b)^2[/tex] имаме [tex]D=0\Right x_{1,2}=\frac{a^2-b^2+y}{2y}=\frac{a}{a+b}[/tex], а последното е положително и по-малко от 1.

Получиха се същите неща като на Ганка, значи всичко е точно.

[estoyanovvd]

[martosss]

Това сега трябва да има за цел да продължи спора с индукцията ли?

Просто не ми харесва, че е казано"ако сумата не зависи от х, то двете числа са равни", но това твърдение не е доказано, затова предлагам мой вариант, който според мен по-ясно обяснява защо това е минимално(и все пак е доказан).

Също така мисля, че всеки има право на мнение - според мен със СА-СГ става по-лесно, според Ганка не, добре. Не виждам какъв е проблемът да "допълня" нейното решение, даже бих се радвал ако някой допълни моето или даде различен подход.

В случая е по-важно да се видят различните подходи за решение, а не да се караме защо единият дал акъл на другия.

[d/dx]

Какво се опитвате да смущавате момчето с госпожата? Да не мислите, че като порасне няма да разбере каква е истината за вас даскалите?

[krainik]

Ем, като сме тръгнали да се правим на интересни - да приложим Хубавото н-во -
[tex]y=\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{1-x}\ge (a+b)^2\Rightarrow y_{min}=(a+b)^2[/tex].

[ганка симеонова]

Ако [tex]x>0. y>0; xy=c=>x+y\ge 2\sqrt{xy} =2\sqrt{c} =>[/tex] Равенство за [tex]x=y[/tex]Март, това си идва точно от СА-СГ

[mkmarinov]

[martosss]

[Dian Atanasov<T1BLD>]

[SV.SV]

Благодаря г- жо Симеонова и на теб Мартос..
Аз уча в немската езикова гимназия, но съм с профил математика. Много ми харесва да се занимавам с нея, въпреки че акцентът ми е езика.
Krainik, ще ти бъда благодарен, ако ми напишеш какво гласи Хубавото неравенство, за да разбера решението ти.
Явно е хубаво, щом като го приложиш, става на един ред

[d/dx]

[krainik]