Регистрирайте сеРегистрирайте се

Минимум на функция


 
   Форум за математика Форуми -> Функции / Производни
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
SV.SV
Начинаещ


Регистриран на: 05 Oct 2009
Мнения: 3
Местожителство: София

МнениеПуснато на: Mon Oct 05, 2009 10:32 am    Заглавие: Минимум на функция

Здравейте. От доста време следя форума, но чак сега се престраших да се регистрирам.
Може ли да получа насока за следната задача?

Да се определи минимумът на функцията
[tex]y=\frac{a^2}{x } +\frac{b^2}{1-x } [/tex], ако [tex]a>0; b>0; 0<x<1 [/tex]

ПП Ако може без производна, защото съм в 11 клас.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Mon Oct 05, 2009 10:52 am    Заглавие:

Ще ти предложа едно решение.
Да представим функцията като [tex]y=a^2.\frac{1-x}{ x} +b^2.\frac{x}{1-x } +a^2+b^2 [/tex]
Тъй като [tex]a^2\frac{1-x}{ x}.b^2\frac{x}{1-x }=a^2b^2 [/tex] и не зависи от х, затова и сумата [tex]a^2\frac{1-x}{ x} +b^2\frac{x}{1-x }[/tex] ще е минимална, когато двете събираеми са равни.
Тогава от [tex]a^2\frac{1-x}{ x} =b^2\frac{x}{1-x }=>x=\frac{a}{ a+b}=>y_{min}=(a+b)^2 [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Mon Oct 05, 2009 11:16 am    Заглавие:

Ето друго подход, който е по-универсален. Wink
Умножаваме по х(1-х) и опростяваме, така получаваме
[tex]x^2y-(a^2+y-b^2)+a^2=0[/tex]
Сега разглеждаме това уравнение като квадратно относно х, от дискриминантата получаваме
[tex]D=(y+a^2-b^2)^2-4a^2y=(y+a^2-b^2-2a\sqrt y)(y+a^2-b^2+2a\sqrt y)=((\sqrt y-a)^2-b^2)((\sqrt y+a)^2-b^2)\ge 0[/tex]
[tex](\sqrt y-a-b)(\sqrt y-a+b)\underline{(\sqrt y+a-b)}\N {(\sqrt y+a+b)}\ge 0[/tex] последното е винаги положително, така че не играе роля, сега нека примерно a≥b, без значение е кое ще избереш да е по-голямото от двете, тогава
a-b≥0 => [tex]\sqrt y+a-b\ge \sqrt y>0[/tex] и съкращаваме и него
Остават
[tex](\sqrt y-a-b)(\sqrt y-a+b)\ge 0[/tex]
[tex]\sqrt y \in\left(-\infty\: ;\: b-a]\cup [a+b\: ;\: +\infty )[/tex], но [tex]\sqrt y >0[/tex], а пък [tex]b-a<0<a+b[/tex], оттук [tex]\sqrt y\ge a+b\Right y\ge (a+b)^2[/tex] Wink
И за тези стойности на у вече можеш да намериш някакво си х, но тъй като ти търсиш у, то [tex]y_{min}=(a+b)^2[/tex]

Единствено не съм сигурен не трябва ли след като намериш х да направиш проверка дали то наистина е между 0 и 1 Laughing

Да, ето го и доказателството:
За [tex]y=(a+b)^2[/tex] имаме [tex]D=0\Right x_{1,2}=\frac{a^2-b^2+y}{2y}=\frac{a}{a+b}[/tex], а последното е положително и по-малко от 1. Wink

Получиха се същите неща като на Ганка, значи всичко е точно. Wink


ганка симеонова написа:

Да представим функцията като [tex]y=a^2.\frac{1-x}{ x} +b^2.\frac{x}{1-x } +a^2+b^2 [/tex]

Г-жо, оттук е достатъчно да направим едно неравенство между Средно-Аритметичното и Средно-Геометричното, откъдето получаваме
[tex]a^2\frac{1-x}{x}+b^2\frac{x}{1-x}\ge 2\sqrt{a^2\frac{1-x}{x}*b^2\frac{x}{1-x}}=2\sqrt{a^2b^2}=2ab[/tex]
Тоест [tex]y\ge 2ab+a^2+b^2=(a+b)^2[/tex], като равенство се достига при x=a/(a+b) - както Ганка каза, равенство на двете събираеми.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Mon Oct 05, 2009 12:38 pm    Заглавие:

martosss написа:
Ето друго подход, който е по-универсален. Wink



Г-жо, оттук е достатъчно да направим едно неравенство между Средно-Аритметичното и Средно-Геометричното, откъдето получаваме
[tex]a^2\frac{1-x}{x}+b^2\frac{x}{1-x}\ge 2\sqrt{a^2\frac{1-x}{x}*b^2\frac{x}{1-x}}=2\sqrt{a^2b^2}=2ab[/tex]
Тоест [tex]y\ge 2ab+a^2+b^2=(a+b)^2[/tex], като равенство се достига при x=a/(a+b) - както Ганка каза, равенство на двете събираеми.


Мисля, че си позволи твърде много, Мартине!!! Да даваш оценки на подхода на ГОСПОЖАТА?! Не бих го направил на твое място!!!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Mon Oct 05, 2009 1:06 pm    Заглавие:

Това сега трябва да има за цел да продължи спора с индукцията ли? Laughing

Просто не ми харесва, че е казано"ако сумата не зависи от х, то двете числа са равни", но това твърдение не е доказано, затова предлагам мой вариант, който според мен по-ясно обяснява защо това е минимално(и все пак е доказан).

Също така мисля, че всеки има право на мнение - според мен със СА-СГ става по-лесно, според Ганка не, добре. Не виждам какъв е проблемът да "допълня" нейното решение, даже бих се радвал ако някой допълни моето или даде различен подход. Wink

В случая е по-важно да се видят различните подходи за решение, а не да се караме защо единият дал акъл на другия.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
d/dx
Начинаещ


Регистриран на: 26 Sep 2009
Мнения: 52

Репутация: -0.6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Oct 05, 2009 3:57 pm    Заглавие:

Какво се опитвате да смущавате момчето с госпожата? Да не мислите, че като порасне няма да разбере каква е истината за вас даскалите? Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Mon Oct 05, 2009 7:44 pm    Заглавие:

Ем, като сме тръгнали да се правим на интересни - да приложим Хубавото н-во -
[tex]y=\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{1-x}\ge (a+b)^2\Rightarrow y_{min}=(a+b)^2[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Mon Oct 05, 2009 7:58 pm    Заглавие:

Ако [tex]x>0. y>0; xy=c=>x+y\ge 2\sqrt{xy} =2\sqrt{c} =>[/tex] Равенство за [tex]x=y[/tex]Март, това си идва точно от СА-СГ Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Mon Oct 05, 2009 8:53 pm    Заглавие:

estoyanovvd написа:

Мисля, че си позволи твърде много, Мартине!!! Да даваш оценки на подхода на ГОСПОЖАТА?! Не бих го направил на твое място!!!

ГОСПОЖАТА не е човек. ГОСПОЖАТА е бог. Думата на ГОСПОЖАТА е закон за теб. Не можеш да поправяш ГОСПОЖАТА. Не можеш да имаш алгоритъм по-бърз от този на ГОСПОЖАТА. Когато ГОСПОЖАТА каже нещо, то е окончателно и не подлежи на въпрос.

(Под ГОСПОЖАТА нямам предвид Ганка Симеонова, а самоиконизацията на една голяма част от учителското съсловие)
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Mon Oct 05, 2009 9:08 pm    Заглавие:

ганка симеонова написа:
Ако [tex]x>0. y>0; xy=c=>x+y\ge 2\sqrt{xy} =2\sqrt{c} =>[/tex] Равенство за [tex]x=y[/tex]Март, това си идва точно от СА-СГ Wink

Само че никъде не споменавате за СА-СГ в решението си, точно затова се опитах да ви поясня. Просто твърдението ви беше недоказано.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Dian Atanasov<T1BLD>
Редовен


Регистриран на: 27 May 2009
Мнения: 132
Местожителство: ruse
Репутация: 6Репутация: 6Репутация: 6Репутация: 6Репутация: 6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Oct 05, 2009 9:13 pm    Заглавие:

Цитат:
Мисля, че си позволи твърде много, Мартине!!! Да даваш оценки на подхода на ГОСПОЖАТА?! Не бих го направил на твое място!!!


ГОСПОЖАТА не е човек. ГОСПОЖАТА е бог. Думата на ГОСПОЖАТА е закон за теб. Не можеш да поправяш ГОСПОЖАТА. Не можеш да имаш алгоритъм по-бърз от този на ГОСПОЖАТА. Когато ГОСПОЖАТА каже нещо, то е окончателно и не подлежи на въпрос.

(Под ГОСПОЖАТА нямам предвид Ганка Симеонова, а самоиконизацията на една голяма част от учителското съсловие)

Very Happy Smile Laughing Wink какво друго мога да кажа освен :LOL
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
SV.SV
Начинаещ


Регистриран на: 05 Oct 2009
Мнения: 3
Местожителство: София

МнениеПуснато на: Mon Oct 05, 2009 9:51 pm    Заглавие:

Благодаря г- жо Симеонова и на теб Мартос..
Аз уча в немската езикова гимназия, но съм с профил математика. Много ми харесва да се занимавам с нея, въпреки че акцентът ми е езика.
Krainik, ще ти бъда благодарен, ако ми напишеш какво гласи Хубавото неравенство, за да разбера решението ти.
Явно е хубаво, щом като го приложиш, става на един ред Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
d/dx
Начинаещ


Регистриран на: 26 Sep 2009
Мнения: 52

Репутация: -0.6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Oct 05, 2009 10:04 pm    Заглавие:

mkmarinov написа:
ГОСПОЖАТА не е човек. ГОСПОЖАТА е бог. Думата на ГОСПОЖАТА е закон за теб. Не можеш да поправяш ГОСПОЖАТА. Не можеш да имаш алгоритъм по-бърз от този на ГОСПОЖАТА. Когато ГОСПОЖАТА каже нещо, то е окончателно и не подлежи на въпрос.

(Под ГОСПОЖАТА нямам предвид Ганка Симеонова, а самоиконизацията на една голяма част от учителското съсловие)


СМЯХ Laughing

Айде гласувайте. Искам да имам 3 големи червени звезди Very Happy, че много хора станахте със жълтите Very Happy.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Tue Oct 06, 2009 7:33 am    Заглавие:

SV.SV написа:

Krainik, ще ти бъда благодарен, ако ми напишеш какво гласи Хубавото неравенство, за да разбера решението ти.
Ще ти напиша само частния случай, който се използва и за самата задача.
[tex]\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{d}\ge \frac{(a+b)^2}{c+d}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Функции / Производни Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.