пак тия граници :(

[lvent]

здр. в понеделник ще имам контролно по мат и реших да решавам задачи, но 2 не можах.
2. Докажете, че редицата с общ член
[tex] a^n = \frac{n^2+1}{n^3+2n+1} + \frac{n^2+1}{n^3+2n+2} + ... + \frac{n^2+1}{n^3+2n+n} [/tex]
е сходащя, и намерете нейната граница.

3. Докажете, че ако [tex] \lim_{x\to\inf} a_{n} > 1[/tex], то [tex] \lim_{x\to\inf} \sqrt[n]{a_{n}} =1 [/tex]

благодаря предварително

[Реклама]

[ганка симеонова]

2. и 3. отделни задачи ли са, че не разбрах?/

[lvent]

да, отделни задачи са.

[ганка симеонова]

За 1 зад бих ползвала теоремата за тримата полицаи, която гласи, че ако имаме три редици [tex]{a_n}; {b_n}; {c_n} [/tex] и ако за всяко n е в сила:
[tex]{a_n}\le {b_n}\le {c_n}[/tex] и [tex]lima_n=limc_n=A=>limb_n=a[/tex]

[tex]b_n=\frac{n^2+1}{n^3+2n+1} + \frac{n^2+1}{n^3+2n+2} + ... + \frac{n^2+1}{n^3+2n+n}<\frac{n^2+1}{n^3+2n+1} + \frac{n^2+1}{n^3+2n+1} + ... + \frac{n^2+1}{n^3+2n+1}=n.\frac{n^2+1}{n^3+2n+1}=c_n[/tex]

[tex]b_n=\frac{n^2+1}{n^3+2n+1} + \frac{n^2+1}{n^3+2n+2} + ... + \frac{n^2+1}{n^3+2n+n}>\frac{n^2+1}{n^3+2n+n} + \frac{n^2+1}{n^3+2n+n} + ... + \frac{n^2+1}{n^3+2n+n}=n.\frac{n^2+1}{n^3+2n+n}=a_n[/tex]
Очевидно границите на [tex] a_n; b_n [/tex] са 1=> и на [tex]b_n [/tex] е 1.

[pipi langstrump]

За втората - тъй като[tex] \lim_{n\to\infty }a_n = a > 0[/tex] , то съществува естествено число [tex] \nu_1[/tex], така че при [tex]n>\nu_1[/tex] e изпълнено [tex]\mid a_n - a\mid <\frac{a}{2} [/tex] или [tex]a_n>\frac{a}{2}[/tex]. Също така при[tex] n>\nu_2[/tex] следва [tex]\mid a_n - a\mid <1[/tex] или [tex]a_n < a+1[/tex]. Тогава, ако [tex]\nu = \max(\nu_1,\nu_2)[/tex], то при [tex]n>\nu[/tex] ще е изпълнено:

[tex]\frac{a}{2}<a_n<a+1[/tex] и

[tex]\sqrt[n]{\frac{a}{2}} < \sqrt[n]{a_n} < \sqrt[n]{a+1}[/tex]

Тъй като [tex]\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{a}{2}} =\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a+1} = 1[/tex], оттук следва, че [tex]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = 1[/tex]